Compattificazione di Stone-Čech

La compattificazione di Stone-Cech di uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ è uno spazio topologico compatto (indicato con ${\displaystyle \beta X}$) che estende lo spazio di partenza X, in cui è inoltre possibile estendere tutte le funzioni continue e limitate in ${\displaystyle X}$:

• ${\displaystyle \beta X}$ è compatto;
• ${\displaystyle \beta X}$ contiene ${\displaystyle X}$;
• ${\displaystyle X}$ è denso in ${\displaystyle \beta X}$;
• per ogni funzione continua e limitata in ${\displaystyle X}$ esiste una funzione continua e limitata in ${\displaystyle \beta X}$ che estende ${\displaystyle f}$ (si dice che ${\displaystyle X}$ è ${\displaystyle C^{\star }}$-immerso in ${\displaystyle \beta X}$):

${\displaystyle \forall f\in C^{\star }(X),\,\exists f^{\beta }\in C^{\star }(\beta X):\,f^{\beta }|_{X}=f}$.

Principali proprietà

La compattificazione di Stone-Cech si può vedere come la "massima" compattificazione di uno spazio, mentre la compattificazione di Alexandrov è la più piccola, come indicano le seguenti proprietà:

• è unica a meno di omeomorfismi;
• è l'unico spazio compatto in cui ${\displaystyle X}$  è ${\displaystyle C^{\star }}$ -immerso;
• è il più grande spazio in cui ${\displaystyle X}$  è ${\displaystyle C^{\star }}$ -immerso.

Una possibile formulazione della compattizzazione di Stone-Cech

Quella che segue è una tra delle formulazioni equivalenti della compattificazione di Stone-Cech: dato uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ , gli zero-insiemi di X sono gli insiemi formati dagli zeri di una funzione continua su ${\displaystyle X}$ . La compattificazione di Stone-Cech ${\displaystyle \beta X}$  è formata da tutti gli ultrafiltri di X. La base della topologia di ${\displaystyle \beta X}$  possiede come elementi tutti gli ultrafiltri formati da zero-insiemi, che non contengono un dato zero insieme ${\displaystyle A}$ :

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{p\in \beta X|A\notin p\}_{A\in Z(X)}}$ , dove ${\displaystyle Z(X)}$  è l'insieme degli ultrafilitri di zero-insiemi di ${\displaystyle X}$ .

Voci correlate

• Topologia
• Spazi compatti