Invarianza di scala

In fisica e matematica, l'invarianza di scala è una caratteristica degli oggetti o una legge che non cambia se si scalano le lunghezze (o parimenti le energie) di un fattore comune. Il termine tecnico per questa trasformazione è dilatazione e la dilatazione può essere anche considerata come un sottoinsieme delle trasformazioni conformi.

• In matematica, l'invarianza di scala spesso si riferisce all'invarianza di una singola funzione o curva. Un concetto strettamente correlato è l'auto-similarità, dove la funzione o la curva in questione è invariante rispetto a un sottoinsieme discreto delle dilatazioni. È anche possibile che le distribuzioni di probabilità di un processo casuale ammettano questo tipo di invarianza di scala o auto-similarità (si veda per esempio il moto browniano).

  

  La curva di Koch è invariante per scala.

• Nella teoria dei campi classica, l'invarianza di scala è comunemente applicata all'invarianza di tutta la teoria sotto le dilatazioni. Questo tipo di teorie descrivono processi fisici che non hanno una scala di lunghezza caratteristica.

• Nella teoria quantistica dei campi, l'invarianza di scala ha una interpretazione in termini delle caratteristiche delle particelle elementari. In una teoria invariante per scala, l'intensità dell'interazione fra le particelle non dipende dell'energia delle particelle coinvolte nella reazione.

• In meccanica statistica, l'invarianza di scala è una caratteristica delle transizioni di fase. La chiave di osservazione è che nell'intorno di una transizione di fase o di un punto critico, le fluttuazioni si verificano a tutte le scale di lunghezza, e quindi si possono cercare delle teorie esplicitamente invarianti di scala per descrivere il fenomeno. Questo tipo di teorie sono studiate dalla teoria dei campi statistica, e formalmente sono molto simili alle teorie invarianti di scale delle teorie di campo quantistiche.

• L'universalità è l'osservazione che sistemi microscopici molto differenti fra loro possono avere le stesse caratteristiche globali dei sistemi con transizioni di fase. Quindi l'analisi delle caratteristiche di scala di sistemi anche molto differenti fra loro può essere descritta dal una unica teoria (detta per l'appunto universale).

• In generale, tutte le quantità adimensionali (o scalari) sono invarianti per scala. L'analogo concetto in statistica sono i momenti standardizzati, che sono invarianti statistici per scala di una variabile, mentre non lo sono i momenti non standardizzati.

Invarianza di scala di curve e auto-similarità

In matematica si possono considerare le proprietà di scala di funzioni o curve ${\displaystyle f(x)}$  sotto una dilatazione della variabile ${\displaystyle x}$ . L'interesse è cioè focalizzato verso la forma di ${\displaystyle f(\lambda x)}$  per un fattore di scala arbitrario ${\displaystyle \lambda }$ , che può essere considerato la lunghezza o il valore della dilatazione. La richiesta per ${\displaystyle f(x)}$  di essere invariante sotto tutte le possibili dilatazioni ${\displaystyle \lambda }$  è spesso scritta come:

${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda ^{\Delta }f(x)}$ 

per una qualche scelta dell'esponente ${\displaystyle \Delta }$ .

Esempi di funzioni invarianti di scala sono i monomi ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ , per i quali si ha chiramente ${\displaystyle \Delta =n}$ :

${\displaystyle f(\lambda x)=(\lambda x)^{n}=\lambda ^{n}f(x).}$ 

Un esempio di una curva invariante di scala è la spirale logaritmica, un tipo che curva che appare spesso in natura. In coordinate polari (r, θ) la spirale può essere scritta come:

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a).}$ 

Considerando rotazioni della curva, l'invarianza si manifesta riscalando l'angolo, ${\displaystyle \theta (\lambda r)}$ , la trasformazione ovviamente lascia identica a se stessa la curva.

Geometria Proiettiva

L'idea di una invarianza di scala dei monomi si generalizza in un numero maggiore di dimensioni all'idea dei polinomi omogenei e può genericamente alle funzioni omogenee. Le funzioni omogenee sono la base naturale degli spazi proiettivi e i polinomi omogenei sono studiati come varietà proiettive in geometria proiettiva. La geometria proiettiva è un campo particolarmente fertile della matematica; nella sua forma più astratta, la geometria degli schemi, ha svariate connessioni con la teoria delle stringhe.

Frattali

Spesso comunemente i frattali sono indicati come oggetti invarianti di scala sebbene sarebbe più corretto dire che sono piuttosto auto-similari. Un frattale è uguale a se stesso tipicamente solamente per un insieme discreto di valori di λ e anche le traslazioni e le rotazioni devono essere applicate in modo discreto per riottenere lo stesso frattale. Quindi per esempio, la curva di Koch scala con Δ = 1, ma il riscalamento è valido solo per valori di λ = 1 / 3n con n intero. Inoltre, la curva di Koch si riscala non solo rispetto all'origine, ma, in un certo senso, "dovunque": una copia in miniatura di tutto il frattale può essere ritrovata in qualsiasi punto della curva.

Alcuni frattali possono avere sequenze differenti di valori di invarianza di scala che sono studiate con l'analisi multifrattale.

Riferimenti

• Zinn-Justin, Jean ; Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Oxford University Press (2002). Discussione esauriente dell'invarianza di scala nella teoria dei campi quantistica e statistica, con applicazioni alla rinormalizzazione e ai fenomeni critici.