Teorema di Riesz-Fischer

In matematica, il teorema di Riesz–Fischer dell'analisi reale stabilisce che una funzione è a quadrato integrabile se e solo se la serie dei coefficienti di Fourier converge nello spazio ${\displaystyle l^{2}}$.

Questo significa che se l'N-esima somma parziale della serie di Fourier, corrispondente a una funzione ${\displaystyle f}$, è data da

${\displaystyle S_{N}f(x)=\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,e^{inx},}$

dove ${\displaystyle F_{n}}$, l'n-esimo coefficiente di Fourier, è dato da

${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,e^{-inx}\,dx}$,

allora

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\Vert S_{n}f-f\right\|=0,}$

dove ${\displaystyle \left\Vert g\right\|}$ è la norma-${\displaystyle L^{2}}$, espressa come

${\displaystyle \left\Vert g\right\|=\int _{-2\pi }^{2\pi }g^{2}\,dx.}$

Viceversa, se ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}\quad }$ è una successione bilatera di numeri complessi (ossia, il suo indice spazia da meno infinito a più infinito, da ${\displaystyle -\infty }$ a ${\displaystyle +\infty }$) tale che

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|a_{n}\right\vert ^{2}<\infty ,}$

allora esiste una funzione ${\displaystyle f}$ a quadrato integrabile, tale che i valori ${\displaystyle a_{n}}$ sono i coefficienti di Fourier di ${\displaystyle f}$.

Il Teorema di Fischer-Riesz è una forma più forte della diseguaglianza di Bessel, è si può adoperare per dimostrare l'identità di Parseval per le serie di Fourier.

Questo teorema è stato scoperto indipendentemente dal matematico ungherese Frigyes Riesz e dal matematico austriaco Ernst Fischer, nel 1907.

Generalizzazione

Il Teorema di Riesz-Fischer si applica anche in contesti più generali. Sia ${\displaystyle E}$  uno spazio dotato di prodotto scalare (ovvero uno spazio euclideo), e sia {${\displaystyle \phi _{n}}$ } un sistema ortonormale (ad esempio una base di Fourier, i polinomi di Hermite o di Laguerre, ecc. -- vedi polinomi ortogonali), non necessariamente completo (in uno spazio euclideo, un sistema ortonormale è completo se e solo se è chiuso)^{[senza fonte]}. Il teorema afferma che se ${\displaystyle E}$  è completo, allora ogni successione {${\displaystyle c_{n}}$ } che abbia norma ${\displaystyle l^{2}}$  finita, definisce una funzione ${\displaystyle f}$  in ${\displaystyle L^{2}}$ , ovvero ${\displaystyle f}$  è a quadrato integrabile.

La funzione ${\displaystyle f}$  è definita come ${\displaystyle f=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}c_{k}\varphi _{k}}$ .

Insieme alla Diseguaglianza di Bessel, si ricava il viceversa: se ${\displaystyle f}$  è a quadrato integrabile, allora i coefficienti di Fourier ${\displaystyle (f,\phi _{n})}$  hanno norma ${\displaystyle l^{2}}$  finita.

Bibliografia

• (EN) Beals, Richard (2004). Analysis: An Introduction. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
• (EN) John Horváth. On the Riesz-Fischer theorem (PDF).
• (EN) Weisstein, Eric W. Reisz-Fischer Theorem.

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