Matrice elementare

Definizione e proprietà

Siano ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$  numero complesso ed i vettori non nulli ${\displaystyle u,v\in \mathbb {C} ^{n}}$ 
Si definisce matrice elementare la matrice
${\displaystyle \ E(\alpha ,u,v)=I-\alpha uv^{*}}$ , dove ${\displaystyle I}$  è la matrice identica di dimensione ${\displaystyle n}$ .

Le matrici elementari sono alla base della descrizione delle tecniche di fattorizzazione LU e QR di una matrice.

Le principali proprietà delle matrici elementari sono:

Teorema. Se ${\displaystyle \alpha v^{*}u\neq 0}$  allora la matrice ${\displaystyle E}$  è invertibile e l'inversa della matrice ${\displaystyle \ I-\alpha uv^{*}}$  è ${\displaystyle \ I-\beta uv^{*}}$ , dove ${\displaystyle \ \beta ={\frac {\alpha }{\alpha v^{*}u-1}}}$ .

Teorema. Siano ${\displaystyle x,y}$  due vettori non nulli, esistono matrici elementari tali che ${\displaystyle E(\alpha ,u,v)x=y}$ .

Matrici elementari di Gauss

L'algoritmo di Gauss può essere interpretato come l'applicazione di ${\displaystyle n-1}$  matrici elementari alla matrice del sistema lineare.

Ad ogni passo occorre annullare tutti gli elementi di un vettore ${\displaystyle v}$  escluso il primo, ${\displaystyle v_{1}}$ , questo può essere fatto con una matrice elementare che mandi ${\displaystyle v}$  in ${\displaystyle e_{1}=[1;0;\dots ;0]^{T}}$ . Tale matrice elementare è quella ottenuta scegliendo ${\displaystyle \alpha =1,u=m_{i},v=e_{1}}$  dove ${\displaystyle m_{i}={\frac {v_{i}}{v_{1}}}}$ .

Matrici elementari di Householder

Si può mandare il vettore ${\displaystyle v}$  in un vettore del tipo ${\displaystyle /alphae_{1}}$  tramite una trasformazione ortonale che è una matrice elementare. Dal fatto che una trasformazione ortogonale è un'isometria segue che ${\displaystyle \alpha =\|v\|_{2}}$ .

Basta scrivere la matrice di riflessione di ${\displaystyle v}$  rispetto al piano ortogonale a ${\displaystyle v-\alpha e_{1}}$  o quello ortogonale a ${\displaystyle v+\alpha e_{1}}$ .

La matrice così ottenuta è ${\displaystyle P=I-\beta ww^{*}}$  dove ${\displaystyle \beta ={\frac {2}{w^{*}w}}}$  e ${\displaystyle w=v\pm {\frac {v_{1}}{|v_{1}|}}\|v\|e_{1}}$  se ${\displaystyle v_{1}=0}$ .

Tale matrice è detta matrice elementare di Householder.