Retta

La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definito da Euclide nei suoi Elementi come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione. La retta è inoltre illimitata in entrambe le direzioni, cioè è infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino.

Una retta viene disegnata come un segmento con estremi tratteggiati

Definizioni

Una retta può giacere (cioè essere contenuta) nel piano o nello spazio tridimensionale.

Due rette distinte nel piano possono essere:

• incidenti se si intersecano;
• parallele se non si intersecano.

Due rette nello spazio possono essere:

• complanari se esiste un piano che le contiene entrambe. In questo caso, sono incidenti se si intersecano e parallele altrimenti;
• sghembe se non sono contenute in un piano comune.

Nello spazio, due rette parallele "si mantengono alla stessa distanza", mentre due rette incidenti o sghembe sono più "vicine" in una zona e più "lontane" nel resto.

Proprietà

La retta è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali il punto, il piano e gli angoli, nel modo seguente:

• Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette.
• Per due punti passa una sola retta.
• Per una retta passano infiniti piani.
• Due rette incidenti in un punto generano angoli opposti uguali.

Retta nel piano cartesiano

Nel piano cartesiano, ogni punto ha due coordinate (x, y), ed una retta può essere scritta in forma implicita come l'insieme dei punti le cui coordinate (x, y) soddisfano una equazione

${\displaystyle ax+by+c=0}$ 

dove a, b e c sono dei numeri reali fissati, non tutti nulli. Altrimenti, in forma esplicita come

${\displaystyle y=mx+q}$  oppure ${\displaystyle x=my+q}$ 

Si tenga presente ciascuna delle due forme implicite non descrive tutte le rette: ad esempio la retta ${\displaystyle x=0}$  non è descrivibile nella forma ${\displaystyle y=mx+q}$  (intuitivamente, questo comporterebbe una semplificazione della formula implicita ${\displaystyle ax+by+c=0}$  mediante una divisione per ${\displaystyle b=0}$ ).

La retta passante per due punti dati A = (${\displaystyle x',y'}$ ) e B = (${\displaystyle x'',y''}$ ) del piano è descritta in forma implicita dalla seguente equazione:

${\displaystyle (x''-x')(y-y')-(y''-y')(x-x')=0}$ 

Retta nello spazio euclideo tridimensionale

Nello spazio euclideo tridimensionale, una retta può essere descritta come luogo di intersezione di due piani non paralleli:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+by+cz+d=0\\a'x+b'y+c'z+d'=0\end{matrix}}\right.}$ 

Rette in uno spazio euclideo n-dimensionale

Nello spazio euclideo n-dimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , una retta è un insieme dei punti del tipo

${\displaystyle r=\{\mathbf {x} _{0}+t\mathbf {v} \ |\ t\in \mathbb {R} \}}$ 

dove ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  e ${\displaystyle \mathbf {v} }$  sono due vettori fissati in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  con ${\displaystyle \mathbf {v} }$  diverso da zero. Il vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$  descrive la direzione della retta, mentre ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  è un qualsiasi punto nella retta. Scelte differenti dei vettori ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  e ${\displaystyle \mathbf {v} }$  possono descrivere la stessa retta.

Questa definizione di retta nello spazio di dimensione n è una estensione della rappresentazione in forma esplicita nel piano descritta sopra. Descrivere invece una retta in forma implicita come insieme di vettori che soddisfano delle equazioni lineari è invece più complicato, perché per il teorema di Rouché-Capelli sono necessarie n-1 equazioni.

Condizioni di parallelismo e perpendicolarità

Consideriamo due rette nel piano, descritte in forma implicita:

${\displaystyle ax+by+c=0}$ 

${\displaystyle a'x+b'y+c'=0}$ 

Queste sono parallele se ${\displaystyle ab'=ba'}$ , e perpendicolari se ${\displaystyle aa'=-bb'}$ . Scritte in forma implicita rispetto alla stessa variabile:

${\displaystyle y=mx+n}$ 

${\displaystyle y=m'x+n'}$ 

sono parallele se ${\displaystyle m=m'}$  e sono perpendicolari se ${\displaystyle mm'=-1}$ .

Questioni relative alla retta nel piano

Distanza di un punto da una retta

Consideriamo, nel piano, la retta ${\displaystyle r}$  di equazione ${\displaystyle ax+by+c}$  ed il punto ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ . La distanza ${\displaystyle \delta (P,r)}$  della retta ${\displaystyle r}$  dal punto ${\displaystyle P}$ , definita come la minima distanza fra ${\displaystyle P}$  ed un punto sulla retta, è data da:

${\displaystyle \delta (P,r)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$ 

Dimostrazione

La distanza fra ${\displaystyle P}$  e ${\displaystyle r}$  è la lunghezza del segmento ${\displaystyle {\overline {PH}}}$ , dove ${\displaystyle H}$  è il punto di intersezione di ${\displaystyle r}$  con la retta perpendicolare a ${\displaystyle r}$  passante per ${\displaystyle P}$ .

Supponiamo inizalmente che ${\displaystyle P=(0,0)}$  sia l'origine. Tenendo conto della condizione di perpendicolarità, si ottengono le coordinate del punto ${\displaystyle H}$  risolvendo il sistema:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+by+c=0\\bx-ay=0\end{matrix}}\right.}$ 

Quindi

${\displaystyle H=\left(-{\frac {bc}{a^{2}+b^{2}}},-{\frac {ac}{a^{2}+b^{2}}}\right)}$ 

e la lunghezza del segmento ${\displaystyle {\overline {OH}}}$  è data da:

${\displaystyle |{\overline {OH}}|={\sqrt {\frac {a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}}={\frac {|c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$ 

Se ${\displaystyle P\neq O}$  ci si riconduce al caso precedente tramite la traslazione degli assi.

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=X+x_{0}\\y=Y+y_{0}\end{matrix}}\right.}$ 

Nel riferimento ${\displaystyle (P,X,Y)}$  la retta ${\displaystyle r}$  è rappresentata dall'equazione: ${\displaystyle aX+bY+(ax_{0}+by_{0}+c)=0}$ . Ripercorrendo la dimostrazione precedente si giunge facilmente alla formula che si voleva dimostrare.

Distanza di due rette parallele

Si chiama distanza di due rette parallele la distanza di un punto qualunque di una retta dall'altra.

Retta passante per un punto parallela ad una direzione

Una retta ${\displaystyle r}$  in un piano risulta individuata quando si conosce un suo punto ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$  e la direzione, individuata dal vettore ${\displaystyle \mathbf {v} (l,m)}$ . Con queste informazioni posso immediatamente scrivere le equazioni parametriche della retta:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x_{0}+kl\\y=y_{0}+km\end{matrix}}\right.}$ 

da cui, eliminando il parametro ${\displaystyle k}$  si ottene l'equazione cartesiana:

${\displaystyle m(x-x_{0})=l(y-y_{0})}$ 

Nel caso in cui ${\displaystyle l}$  oppure ${\displaystyle m}$  sia nullo si annulla il membro corrispondente. Se ad esempio ${\displaystyle l=0}$  l'equazione precedente diventa:

${\displaystyle m(x-x_{0})=0}$ 

e quindi la retta corrispondente avrà un equazione del tipo: ${\displaystyle x=}$ cost come ci si aspettava. Se ${\displaystyle l\neq 0}$  si ottiene una descrizione della retta in forma esplicita, riscrivendo l'equazione cartesiana cosi':

${\displaystyle y={\frac {m}{l}}(x-x_{0})+y_{0}}$ 

Il coefficiente angolare della retta è quindi ${\displaystyle m/l}$ .

Bisettrice di una coppia di rette

Siano due rette identificate dalle equazioni

${\displaystyle {\begin{matrix}ax+by+c=0\\a'x+b'y+c'=0\end{matrix}}}$ 

L'insieme dei punti equidistanti dalle due rette è una retta (se queste sono parallele) o l'unione di due rette (se queste sono incidenti). Ciascuna di queste rette trovate può essere chiamata la bisettrice delle rette di partenza. Nel caso in cui queste siano incidenti, usando la formula descritta sopra per la distanza fra un punto e una retta si trovano le seguenti equazioni per le due bisettrici:

${\displaystyle Ax+Bx+C=0}$ 

dove

${\displaystyle A={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\pm {\frac {a'}{\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}},\ B={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\pm {\frac {b'}{\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}},\ C={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\pm {\frac {c'}{\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}}.}$ 

Voci correlate

• Perpendicolare