Errore quadratico medio

In statistica, l'errore quadratico medio (in inglese Mean Square Error, MSE) indica la discrepanza quadratica media fra i valori dei dati osservati ed i valori dei dati stimati.

Definizione

L'errore quadratico medio o Mean Squared Error (MSE) di uno stimatore ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$  rispetto al parametro stimato ${\displaystyle \theta }$  e' defiito come

${\displaystyle \operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})=\operatorname {E} {\big [}({\hat {\theta }}-\theta )^{2}{\big ]}.}$ 

L'errore quadratico medio è uguale alla somma della varianza e del quadrato del bias di uno stimatore

${\displaystyle \operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})=\operatorname {Var} ({\hat {\theta }})+\left(\operatorname {Bias} ({\hat {\theta }},\theta )\right)^{2}.}$ 

L'errore quadratico medio quindi ci da una misura per giudicare la qualita' di uno stimatore in temrini della sua variazione e della sua distorsione.

La formula

La formula per calcolarne il valore è la seguente:
${\displaystyle MSE={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\widehat {x}}_{i})^{2}}{n}}}$ 
La sua radice quadrata fornisce un ulteriore indice statistico, la cosiddetta Radice dell'Errore Quadratico Medio (in inglese Root Mean Square Error, RMSE). Corrisponde, in italiano, alla varianza interna data dal rapporto fra la devianza interna (o devianza entro i gruppi) e la numerosità totale.

Essi non sono quantità a-dimensionali, bensì assumono l'unità di misura della grandezza considerata.
Ad esempio, nella stima della resistenza di risonanza di un circuito, l'MSE è calcolato in ${\displaystyle [\Omega ^{2}]}$  e il relativo RMSE in ${\displaystyle [\Omega ]}$ . Pertanto, essi non sono indici assoluti dell'affidabilità della stima effettuata, ma dipendono dal range di variazione dei dati acquisiti (e stimati). I corrispettivi indici assoluti vengono indicati col nome di MSE Percentuale (MSEP) e RMSE Percentuale (RMSEP).

Calcolo dei valori di MSEP e RMSEP

Il valore dell'MSEP è facilmente calcolabile sostituendo al numeratore dell'MSE la normalizzazione dell'i-esimo errore rispetto al relativo valore stimato. Pertanto:
${\displaystyle MSEP={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {x_{i}-{\widehat {x}}_{i}}{x_{i}}}\right)^{2}}{n}}}$ .

L'RMSEP ne è, naturalmente, la relativa radice quadrata.

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