Equazione di Eulero

Le equazioni lineari omogenee a coefficienti variabili di Eulero sono equazioni di tipo particolare del tipo:

${\displaystyle x^{n}y^{(n)}+a_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\ldots +a_{n-1}xy'+a_{n}y=0}$

le cui soluzioni si possono trovare facilmente sottoforma di potenze ${\displaystyle y(x)=x^{\lambda }}$.

Esempio

Facciamo un esempio di equazione di Eulero di secondo grado:

${\displaystyle x^{2}y''+a_{1}xy'+a_{2}y=0}$ 

allora sostituiamo ${\displaystyle y(x)=x^{\lambda }}$  ottenendo il polinomio associato:

${\displaystyle x^{2}\lambda (\lambda -1)+a_{1}\lambda x^{2}+a_{2}x^{2}=0}$ 

${\displaystyle \lambda (\lambda -1)+a_{1}\lambda +a_{2}=0}$ 

Una volta trovate le radici si risolve secondo un'equazione lineare ordinaria, con integrale generale che dipende dal segno del delta; nel caso il delta sia maggiore di zero, e quindi, per soluzioni reali e positive, l'integrale sarà pari alla seguente forma:

${\displaystyle y(x)=ax^{\lambda _{1}}+bx^{\lambda _{2}}}$ 

Per delta nullo avremo:

${\displaystyle y(x)=ax^{\lambda _{0}}+bx^{\lambda _{0}}ln(x)}$ 

Per delta negativo, avremo invece soluzioni immaginarie del tipo

${\displaystyle \lambda _{1}=u+iv}$  e :${\displaystyle \lambda _{2}=u-ivchedarannosoluzionideltipo::<math>y(x)=x^{u}[cos(ln(x)v)+sen(ln(x)v)]}$ 

Voci correlate

• Equazione differenziale ordinaria
• Equazioni differenziali lineari di ordine superiore

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