Tetraedro

In geometria, un tetraedro è un poliedro con quattro facce. Un tetraedro è necessariamente convesso, le sue facce sono triangolari, ha 4 vertici e 6 spigoli. Analogamente si può definire come solido con 4 vertici o 6 spigoli. Viene chiamato anche tetragono (da Dante).

Tetraedro
Tipo	Solido platonico
Forma facce	Triangoli
Nº facce	4
Nº spigoli	6
Nº vertici	4
Valenze vertici	3
Gruppo di simmetria	Gruppo simmetrico ${\displaystyle S_{4}}$
Duale	Tetraedro
Angoli diedrali	70° 32'
Proprietà	non chirale

Il tetraedro si può definire anche come simplesso tridimensionale, vale a dire come il solido tridimensionale col minor numero di vertici.

Il tetraedro regolare è uno dei cinque solidi platonici, cioè uno dei poliedri regolari e le sue facce sono triangoli equilateri. Esso presenta un angolo diedro di 70° 32'.

Parametri metrici

Alcuni parametri metrici del tetraedro regolare con spigoli di lunghezza ${\displaystyle a}$  sono i seguenti

Altezza (cioè distanza fra vertice e faccia opposta)	${\displaystyle \,{\sqrt {6}}a/3\,}$
Angolo diedrale	${\displaystyle \,\arccos(1/3)\,}$  (ca. 71°)
Area della superficie totale	${\displaystyle \,a^{2}{\sqrt {3}}\,}$
Volume	${\displaystyle \,{\begin{matrix}{1 \over 12}\end{matrix}}a^{3}{\sqrt {2}}\,}$

La costruzione di Euclide

 

Fig. 1: determinazione dello spigolo AC del tetraedro inscritto nella sfera di diametro AB

 

Fig. 2: costruzione del tetraedro

Nel libro XIII dei suoi Elementi, Euclide descrive il metodo per inscrivere un tetraedro regolare in una sfera di diametro dato. La costruzione descritta da Euclide è la seguente:

Sia AB (vedi Fig. 1) un diametro della sfera data; lo si divida nel punto D in modo che AD sia il doppio di DB. Su questo diametro si costruisca un semicerchio, si alzi la perpendicolare da D e si denoti con C il punto di intersezione tra tale perpendicolare e le circonferenza. Infine, si congiungano i punti AC.

Si replichi la stessa costruzione su due piani passanti per AB, con angolo diedro di 120° rispetto al piano iniziale (Fig. 2). Si traccino infine le congiungenti fra i punti CE, CF e EF.

È chiaro che i vertici A, C, E ed F si trovano sugli archi di cerchio costruiti sul diametro AB, quindi si trovano tutti sulla superficie della sfera di pari diametro. Per costruzione gli spigoli AC, AE ed AF sono uguali fra loro, così come lo sono gli spigoli CE, CF ed EF (questi ultimi determinano il triangolo equilatero alla base del tetraedro). Rimane da verificare che questi due gruppi di spigoli abbiano la stessa lunghezza.

 

Nella parte alta della figura di sinistra è replicata la costruzione iniziale: per il secondo teorema di Euclide, il segmento x è medio proporzionale fra i segmenti AD e DB. Supponendo (senza perdita di generalità) che il diametro del cerchio sia unitario, risulta che tali segmenti hanno le lunghezze indicate in figura, quindi:

AD : x = x : DB,

2/3 : x = x : 1/3,

x² = 2/9.

Grazie al teorema di Pitagora si può ora calcolare la lunghezza del segmento AC o, per praticità, il suo quadrato:

AC² = x² + AD² = 2/9 + (2/3)² = 2/9 + 4/9 = 6/9 = 2/3.

La parte inferiore del disegno raffigura la base del tetraedro. Il segmento CF è cateto del triangolo HCF rettangolo in F, quindi:

CF² = HC² - HF² = (2·x)² - x² = 3·x² = 3·(2/9) = 6/9 = 2/3.

Di conseguenza, i tre spigoli alla base del tetraedro e i tre spigoli che fanno capo al vertice A, hanno tutti la stessa lunghezza s = AC = CF = 2/3 e quindi il poliedro costruito è effettivamente inscritto nella sfera data. Si noti inoltre come da questi calcoli segua anche che il quadrato di un qualsiasi spigolo del tetraedro è pari a 2/3 del quadrato del diametro AB.

Poliedro duale

Il poliedro duale del tetraedro è ancora un tetraedro. Il tetraedro regolare è l'unico dei 5 solidi platonici che è duale di se stesso: gli altri 4 sono accoppiati dalla relazione di dualità.

Simmetrie

 

Simmetrie del tetraedro: rotazioni intorno ad un asse o riflessione rispetto ad un piano.

Il tetraedro ha 24 simmetrie: ogni permutazione dei 4 vertici è infatti realizzata da un'unica simmetria. Il gruppo di simmetria è quindi il gruppo ${\displaystyle S_{4}}$  di permutazioni di 4 elementi, di cardinalità ${\displaystyle 4!=24}$ . Tra queste, 12 sono rotazioni intorno ad alcuni assi, mentre le altre 12 invertono l'orientazione dello spazio.

Le 12 simmetrie rotatorie (inclusa l'identità) formano un sottogruppo, isomorfo al gruppo alternante ${\displaystyle A_{4}}$ . L'asse di rotazione di una simmetria può collegare il centro di una faccia con un vertice opposto (4 possibilità), oppure i punti medi di due spigoli opposti (3 possibilità). Intorno ad un asse del primo tipo possono essere effettuate rotazioni di 120° o 240°, mentre intorno ad un asse del secondo tipo la rotazione è di 180°. In totale, si ottengono quindi ${\displaystyle 2\times 4+3=11}$  rotazioni, cui va aggiunta l'identità per ottenere tutte le 12 simmetrie rotatorie.

 

Le 12 simmetrie rotatorie del tetraedro. Oltre all'identità, vi sono ${\displaystyle 2\times 4=8}$  rotazioni lungo assi passanti per i vertici e ${\displaystyle 3}$  lungo assi che collegano spigoli opposti.

Numerando i vertici del tetraedro con 1, 2, 3 e 4, le rotazioni di 120° e 180° corrispondo alle permutazioni

${\displaystyle (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)}$ 

ovvero ai cicli di ordine 3. Le rotazioni di 180° invece corrispondono alle permutazioni

${\displaystyle (12)(34),(13)(24),(14)(23)}$ 

ottenute come prodotto di due cicli indipendenti.

Delle 12 simmetrie che non preservano l'orientazione, 6 sono riflessioni lungo piani: ciascun piano contiene uno spigolo e il punto medio dello spigolo opposto (come nella figura a destra). Queste corrispondono ai cicli di ordine due

${\displaystyle (12),(13),(14),(23),(24),(34)}$ 

Infine, le altre 6 simmetrie sono composizioni di riflessioni lungo piani e rotazioni, e corrispondono ai cicli di ordine 4

${\displaystyle (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432).}$ 

Generalizzazioni

Il simplesso è un oggetto che generalizza la nozione di tetraedro in dimensione arbitraria. Si tratta dell'unico politopo ${\displaystyle n}$ -dimensionale avente ${\displaystyle n+1}$  vertici, mentre ogni altro politopo ne ha una quantità maggiore. Per ${\displaystyle n=1,2}$  e ${\displaystyle 3}$  il simplesso è rispettivamente un segmento, un triangolo e un tetraedro.

Come tutti i politopi, il simplesso ha facce di ogni dimensione: queste sono tutte a loro volta simplessi. Per la sua semplicità, il simplesso è generalmente ritenuto il "blocco base" con cui costruire spazi ${\displaystyle n}$ -dimensionali più complicati tramite un processo detto triangolazione.

L'angolo diedrale di un tetraedro n-dimensionale è arccos(1/n). La dimostrazione di questa proprietà non richiede metodi particolarmente complessi, tuttavia non è banale.^[1]

Einstein e il tetraedro

 

Un tetraedro regolare.

Esiste un curioso aneddoto riguardo Albert Einstein: ad un convegno di fisici, subissato dalle critiche per la sua balzana concezione di uno spaziotempo a quattro dimensioni, egli propose il seguente problema:

Dati sei stuzzicadenti, costruire 4 triangoli equilateri.

Nessuno dei presenti riuscì a posizionare su di un piano gli stuzzicadenti per formare i triangoli richiesti, il che è infatti impossibile, al che Einstein compose un tetraedro coi sei stuzzicadenti e disse:

Se non sapete usare la terza dimensione, che sperimentate tutti i giorni, come sperate di capire la quarta?

Voci correlate

• Solido platonico
• Tetraedrite
• Teorema del Tetraedro di Cauchy

Note

1. ^ Harold R. Parks and Dean C. Wills, "An Elementary Calculation of the Dihedral Angle of the Regular n-Simplex". The American Mathematical Monthly, Vol. 109, No. 8 (Oct., 2002), pp. 756-758

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Collegamenti esterni

• (EN) Tetraedro in MathWorld
• (EN) Poliedri uniformi
• (EN) Poliedri in realtà virtuale
• (EN) Modelli in carta di poliedri (con molti altri collegamenti)

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