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Estensione intera (redirect Elemento intero)

In algebra, unestensione intera di un anello commutativo unitario è un'estensione di anelli ${\displaystyle A\subseteq B}$  tale che ogni elemento di B è intero su A, ovvero tale che ogni elemento di B è radice di un polinomio monico a coefficienti in A.

Rappresenta una generalizzazione del concetto di estensione algebrica di campi: se A è un campo, le estensioni intere sono infatti le estensione algebriche (dal momento che ogni polinomio può essere reso monico).

Definizioni

Data un'estensione di anelli ${\displaystyle A\subseteq B}$ , un elemento b di B è detto intero se esiste un polinomio monico ${\displaystyle P(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$  se ${\displaystyle P(b)=0}$ . Condizioni equivalenti a questa sono:

• A[b] è un A-modulo finitamente generato;
• A[b] è contenuto in un sottoanello C di B che è un A-modulo finitamente generato;
• esiste un A[b]-modulo fedele che è finitamente generato come A-modulo.

In particolare, se A è un campo, gli A-moduli finitamente generati sono gli spazi vettoriali di dimensione finita: e gli elementi che generano spazi vettoriali di dimensione finita sono esattamente gli elementi algebrici su A.

L'insieme degli elementi di B interi su A forma un anello, detto chiusura integrale di A in B; se questa coincide con B, ovvero se tutti gli elementi di B sono interi su A, l'estensione è detta intera.

Proprietà basilari

Come le estensioni algebriche, le estensioni intere sono transitive: ovvero, se ${\displaystyle A\subseteq B}$  e ${\displaystyle B\subseteq C}$  sono estensioni intere, allora anche ${\displaystyle A\subseteq C}$  è intera; in particolare, la chiusura integrale di A in B è il più grande sottoanello di B che è intero su A.

Le estensioni intere inoltre si conservano attraverso quozienti e localizzazioni: più precisamente

• se ${\displaystyle A\subseteq B}$  è intera, J un ideale di B e ${\displaystyle I=J\cap A}$  (che è un ideale di A), allora l'estensione ${\displaystyle {\frac {A}{I}}\subseteq {\frac {B}{J}}}$  è intera;
• se S è una parte moltiplicativa di A allora l'estensione ${\displaystyle S^{-1}A\subseteq S^{-1}B}$  è intera.

Le estensioni intere "conservano i campi", nel senso che, se ${\displaystyle A\subseteq B}$  è intera, A è un campo se e solo se lo è B.

Ideali primi

In un'estensione intera ${\displaystyle A\subseteq B}$  è possibile legare gli ideali primi di A a quelli di B.

La prima proprietà riguarda gli ideali massimali (che, essendo l'anello commutativo, sono in particolare primi): un ideale primo Q di B è massimale se e solo se ${\displaystyle Q\subseteq A}$  è un ideale massimale di A. Questo è una conseguenza del fatto che le estensioni intere conservano i campi.

Vi sono tre teoremi generali che riguardano il comportamento degli ideali primi.

Il primo è il teorema del lying-over: per ogni ideale primo P di A esiste un ideale primo Q di B tale che ${\displaystyle Q\cap A=P}$ ; una sua riformulazione è che l'applicazione tra gli spettri corrispondente all'inclusione è suriettiva. Su questo risultato si innesta il teorema del going-up (o primo teorema di Cohen-Seidenberg), il quale afferma che, se P₁ e P₂ sono ideali primi di A, l'uno contenuto nell'altro, e Q₁ è un'ideale primo di B che si contrae a P₁, allora esiste un ideale primo Q₂, che contiene Q₁, che si contrae a P₂: ovvero è sempre possibile "sollevare" una catena ascendente di ideali primi di A ad una catena di ideali primi di B.

Il teorema di incomparabilità afferma che questo sollevamento è, in un certo senso, unico: due ideali primi di B che si contraggono allo stesso ideale primo di A non possono essere contenuti l'uno nell'altro. Insieme al teorema del going-up, questo permette di affermare che le estensioni intere preservano la dimensione di Krull, ovvero che A e B hanno la stessa dimensione.

Simile al teorema del going-up è il teorema del going-down (o secondo teorema di Cohen-Seidenerg), che riguarda le catene discendenti anziché quelle ascendenti: se ${\displaystyle P_{1}\subseteq P_{2}}$  sono ideali primi di A e Q₂ è un ideale primo di B che si contrae a P₂, allora esiste un ideale primo Q₁, contenuto in Q₂, che si contrae a P₁. Questo è tuttavia meno generale del precedente, in quanto richiede che A sia un dominio d'integrità e che sia integralmente chiuso nel suo campo dei quozienti.

Voci correlate

• Estensione algebrica

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Teoremi di Cohen-Seidenberg^{[Ripensare nome?]}

In algebra, i due teoremi di Cohen-Seidenberg, noti anche come teorema del going-up (il primo) e teorema del going-down (il secondo) sono due teoremi che esprimono alcune proprietà del comportamento degli ideali primi in un'estensione intera di anelli commutativi.^[mah...]

Sono stati dimostrati da Irving S. Cohen e Abraham Seidenberg.

en:Going up and going down

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