Modulo (algebra)
In matematica e in particolare in algebra, si introduce la specie di struttura di modulo come generalizzazione significativa di quella di spazio vettoriale. Mentre uno spazio vettoriale richiede un insieme di scalari costituenti un campo, un modulo, meno esigente, richiede scalari che costituiscono un anello. Particolarmente importanti, per la stessa teoria delle trasformazioni lineari sono i moduli su anelli di polinomi. Buona parte della teoria dei moduli riesce a ottenere proprietà di cui godono anche gli spazi vettoriali. Da notare che non tutti i moduli sono dotati di una base. È anche interessante considerare la specie di struttura di modulo come un arricchimento della specie di struttura di gruppo abeliano.
Definizione
Si dice modulo sinistro sopra (un anello) una struttura esprimibile come sistema
dove:
è un anello
è un gruppo abeliano
è una legge di composizione della forma per la quale si chiede
Specularmente si definisce modulo destro sopra una struttura esprimibile come sistema
dove:
è un anello
è un gruppo abeliano
è una legge di composizione della forma per la quale si chiede
Si dice inoltre bimodulo una struttura esprimibile come sistema
tale che
sia un modulo sinistro e
sia un modulo destro.
Se si considera un R anello commutativo, la distinzione fra modulo sinistro e modulo destro viene a cadere e si parla di modulo tout court, oppure di modulo bilatero (quando si vuole sottolineare la mancanza di distinzione).
Va ricordato che si può definire una specie di struttura più generale servendosi, invece che di un anello, di uno pseudoanello, cioè di una struttura più generale di quella di anello, che differisce da quest'ultima solo per non richiedere la presenza di un elemento unità. Questa struttura potrebbe chiamarsi pseudomodulo. Occorre anche segnalare che gli autori che non richiedono ad un anello di essere unitale definiscono i moduli senza richiedere l'ultima proprietà indicata riguardante l'elemento unità dell'anello.
Esempi
- Quando l'anello R è un campo, il modulo (bilatero grazie alla commutatività dei campi) risulta essere uno spazio vettoriale (per essere precisi si dovrebbe dire che quando si può estendere l'anello R a un campo, il modulo si può estendere a uno spazio vettoriale).
- Un gruppo abeliano può essere considerato come modulo sull'anello degli interi, cioè come Z-modulo, in un modo unico: per ogni generico x del gruppo e per ogni n intero positivo basta definire n:x come la somma di n repliche dell'elemento x, ponendo inoltre 0:x := 0 e (-n):x := --(n:x).
- Se R è un generico anello (non commutativo) e I un suo ideale sinistro, allora I è un modulo sinistro su R. Specularmente se R è un anello e J un suo ideale destro, allora J è un modulo destro su R.
- Se R è un generico anello e n è un numero naturale, allora il prodotto cartesiano Rn, dotato della moltiplicazione componente per componente, è un modulo (sia destro che sinistro) su R. In particolare quando n = 1, R è un R-modulo, e la moltiplicazione per scalare non è altro che la moltiplicazione dell'anello; quando invece n = 0 otteniamo l'R-modulo banale {0}. I moduli di questo tipo vengono chiamati liberi e il numero n è in questo caso il rango del modulo libero.
- Se S è un insieme non vuoto, M è un R-modulo sinistro, e MS è la famiglia di tutte le funzioni f : S → M, allora con l'addizione e la moltiplicazione per scalare su MS definite come (f + g)(s) = f(s) + g(s) e (rf)(s) = rf(s), MS è un R-modulo sinistro. Il caso di un R-modulo destro è analogo. In particolare, se R è commutativo allora la famiglia degli omomorfismi di R-moduli h : M → N è un R-modulo (e più precisamente un sottomodulo di NM).
