Quadrigradiente

In fisica, il quadrigradiente è un operatore differenziale che generalizza il concetto di gradiente ai quadrivettori. Si tratta di un operatore vettoriale che applicato a una funzione scalare genera un quadrivettore le cui componenti sono le derivate parziali della funzione rispetto alle quattro coordinate.

Definizione

Il quadrigradiente è il quadrivettore definito come:

${\displaystyle \partial _{\alpha }\ =\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)}$ 

Detto g^αβ il tensore metrico, nello spaziotempo piatto esso è [ + - - - ], e si ha:

${\displaystyle \partial ^{\alpha }\ =g^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\nabla \right)}$ 

Il quadrato del quadrigradiente è il quadrilaplaciano, chiamato anche operatore di d'Alembert:

${\displaystyle \Box =\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}$ .

ed è il prodotto scalare di due quadrivettori. L'operatore di d'Alembert è un operatore scalare Lorentz invariante.

Bibliografia

• S. Hildebrandt, "Analysis II" (Calculus II), ISBN 3-540-43970-6, 2003
• L.C. Evans, "Partial differential equations", A.M.Society, Grad.Studies Vol.19, 1988
• J.D. Jackson, "Classical Electrodynamics" Chapter 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X