Linearità (matematica)

La linearità in matematica è una relazione che intercorre fra due o più enti matematici.

Definizioni

Applicazioni lineari

  Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformazione lineare.

Un'applicazione ${\displaystyle f}$  è lineare se, per ogni elemento ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  su cui agisce la funzione, e per ogni scalare ${\displaystyle \lambda }$  e ${\displaystyle \mu }$  per cui tale funzione può essere moltiplicata, vale la relazione:

${\displaystyle f(\lambda x+\mu y)\,=\lambda f(x)\,+\mu f(y)\,}$ .

Linearità fra più enti

Dati tre enti matematici x, y e z, e due costanti a e b, z risulta in relazione lineare con x ed y se:

${\displaystyle z=ax+by\;}$ 

Più specificamente, in algebra, n vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots \mathbf {v} _{n}}$  di dicono linearmente dipendenti se intercorre tra di essi una relazione

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }$ 

dove ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$  non sono tutti nulli^[1]; se invece l'eguaglianza vale solo se tutti i coefficienti ${\displaystyle a_{i}}$  sono nulli, si dice che i vettori sono linearmente indipendenti. Se un vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$  può essere scritto nel modo seguente:

${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}}$ 

(con ogni ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\neq \mathbf {v} }$ ), si dice che ${\displaystyle \mathbf {v} }$  è una combinazione lineare dei vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\cdots \mathbf {v} _{n}}$ . In particolare, lo spazio ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{n})}$  delle combinazioni lineari dei vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{n}}$  prende il nome di sottospazio generato da tali vettori (generatori), ed è un sottospazio vettoriale dello spazio di cui questi vettori fanno parte.

Grafica

Due enti sono in relazione di linearità se la loro rappresentazione in un piano cartesiano è una retta o una semiretta.

Voci correlate

• Funzione lineare
• Trasformazione lineare

Note

1. ^ Si noti che il vettore ${\displaystyle \mathbf {0} }$  è linearmente dipendente, poiché vale ad esempio la relazione ${\displaystyle 1\mathbf {0} =\mathbf {0} }$ .

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