Assiomi di Peano

Gli Assiomi di Peano sono un gruppo di assiomi ideati dal matematico Giuseppe Peano al fine di caratterizzare l'insieme dei i numeri naturali.

Un modo informale di desrivere gli assiomi può essere il seguente:

1. 0 è un numero naturale
2. il successore di un numero naturale è un numero naturale
3. 0 non è il successore di alcun numero naturale
4. numeri diversi hanno successori diversi
5. ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di tutti i suoi elementi coincide con l'intero insieme dei numeri naturali

I primi due assiomi ci dicono che abbiamo a che fare con un insieme ${\displaystyle X}$ (i "numeri naturali") che contiene un elemento 'speciale' ${\displaystyle x_{0}}$ (lo "zero") e che è dominio e codominio di una funzione ${\displaystyle S:X\rightarrow X}$ (il "successore"). Gli altri tre assiomi descrivono le proprietà di questa funzione in un modo che formalmente è il seguente:

(P1) ${\displaystyle S(x)\neq x_{0}}$ per ogni ${\displaystyle x\in X}$

(P2) ${\displaystyle S(x)=S(y)}$ implica ${\displaystyle x=y}$

(P3) se ${\displaystyle U}$ è un sottoinsieme di ${\displaystyle X}$ tale che:

1. ${\displaystyle x_{0}\in U}$
2. ${\displaystyle k\in U}$ implica ${\displaystyle k+1\in U}$

allora ${\displaystyle U=X}$

Chiaramente tali assiomi sono verificati se consideriamo ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$, l'insieme dei numeri naturali, ${\displaystyle x_{0}=0}$ e ${\displaystyle S(x)=x+1}$. Tuttavia possono essere verificati da altri modelli, ad esempio se ${\displaystyle X=\{2n:n\in N\}}$, l'insieme dei numeri pari, ${\displaystyle x_{0}=0}$ e ${\displaystyle S(x)=x+2}$. Questo significa che l'insieme dei numeri naturali con lo zero ed il successore non sono univocamente caratterizzati dagli assiomi (P1),(P2) e (P3). Quello che è importante tuttavia è che gli assiomi di Peano sono sufficienti a caratterizzare la struttura dei numeri naturali, cioè caratterizzano l'insieme a meno di isomorfismi. Questa proprietà degli assiomi viene chiamata categoricità. Ciò che abbiamo affermato è chiamato nell'ambito della logica formale Teorema di Categoricità per gli assiomi di Peano del secondo ordine.

L'ultimo assioma di Peano è noto con il nome di Principio di Induzione.