Formula di Grassmann

In matematica, la formula di Grassmann è una relazione che riguarda le dimensioni dei sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale o dei sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo.

Il nome è stato scelto in onore del matematico tedesco Hermann Grassmann (1809-1877).

Definizione

Sia ${\displaystyle V}$  uno spazio vettoriale su un campo ${\displaystyle K}$  dotato di dimensione finita, cioè dotato di una base finita; siano ${\displaystyle W}$  e ${\displaystyle U}$  due sottospazi di ${\displaystyle V}$ . Indichiamo con ${\displaystyle W+U}$  il sottospazio somma di ${\displaystyle W}$  e ${\displaystyle U}$ , dato da:

${\displaystyle W+U:=\{w+u\ |\ w\in W,u\in U\}}$ 

e con ${\displaystyle W\cap U}$  il loro sottospazio intersezione.

La formula di Grassman afferma che:

${\displaystyle \dim(W+U)=\dim(W)+\dim(U)-\dim(W\cap U)}$ 

Esempi

Spazio tridimensionale

Questa formula si visualizza facilmente e significativamente nel caso in cui ${\displaystyle V}$  sia lo spazio vettoriale tridimensionale sui reali ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ; le possibilità per i sottospazi portano alla seguente casistica:

• Uno dei due sottospazi ${\displaystyle W}$  o ${\displaystyle U}$  ha dimensione 0 o 3: in questo caso (a meno di scambiare i nomi dei due sottospazi) abbiamo ${\displaystyle W+U=U}$  e ${\displaystyle W\cap U=W}$  e la formula si riduce a una identità.
• ${\displaystyle W}$  e ${\displaystyle U}$  sono sottospazi di dimensione 1 (cioè rette passanti per l'origine):
  • se le rette sono distinte ${\displaystyle W\cap U}$  contiene solo il vettore nullo ed ha dimensione 0 e ${\displaystyle W+U}$  è il piano contenente le due rette, per cui la formula si riduce a 1 + 1 = 2 + 0.
  • se coincidono ${\displaystyle W+U=W=U=W\cap U}$  e ancora si ha una identità.
• ${\displaystyle W}$  è una retta per l'origine e ${\displaystyle U}$  un piano per l'origine:
  • se la retta non giace nel piano si ha: 1 + 2 = 3 + 0;
  • se la retta giace nel piano: 1 + 2 = 2 + 1.
• ${\displaystyle W}$  e ${\displaystyle U}$  sono piani per l'origine:
  • se non coincidono la loro intersezione è una retta e si ha: 2 + 2 = 3 + 1;
  • se coincidono si ha un'identita` che numericamente afferma: 2 + 2 = 2 + 2.

Somma diretta

  Lo stesso argomento in dettaglio: Somma diretta.

Definizione

Due sottospazi ${\displaystyle U}$  e ${\displaystyle W}$  sono in somma diretta se ${\displaystyle U\cap W=\{0\}}$ . In questo caso la formula di Grassmann asserisce che

${\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W).}$ 

Se inoltre ${\displaystyle V=U+W}$ , si dice che ${\displaystyle V}$  si decompone in somma diretta di ${\displaystyle U}$  e ${\displaystyle W}$  e si scrive

${\displaystyle V=U\oplus W.}$ 

In questo caso il sottospazio ${\displaystyle W}$  è un supplementare di ${\displaystyle U}$  (e viceversa).

Esempi

Lo spazio ${\displaystyle M(n)}$  delle matrici quadrate ${\displaystyle n\times n}$  a coefficienti in un campo ${\displaystyle K}$  si decompone nei sottospazi delle matrici simmetriche e delle antisimmetriche:

${\displaystyle M(n)=S(n)\oplus A(n).}$ 

La formula di Grassmann porta alla uguaglianza concernente le dimensioni dei due sottospazi della forma:

${\displaystyle n^{2}={\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {n(n-1)}{2}}.}$ 

Dimostrazione

Struttura della dimostrazione

La formula si dimostra individuando due basi per ${\displaystyle W}$  e ${\displaystyle U}$  che hanno in comune i vettori che costituiscono una base per la loro intersezione. Più precisamente, si prende una base ${\displaystyle B}$  per ${\displaystyle W\cap U}$ , e si completa ad una base

${\displaystyle B\cup B_{U}}$ 

di ${\displaystyle U}$ , e ad una base

${\displaystyle B\cup B_{W}}$ 

di ${\displaystyle W}$ . I vettori in

${\displaystyle B\cup B_{U}\cup B_{W}}$ 

generano lo spazio ${\displaystyle U+W}$ , si verifica che sono indipendenti, e quindi sono una base per ${\displaystyle U+W}$ . Un conteggio degli elementi nelle quattro basi trovate fornisce la formula di Grassmann.

Verifica dell'indipendenza lineare

L'unico fatto che necessita di una dimostrazione approfondita è l'indipendenza dei vettori in

${\displaystyle B\cup B_{U}\cup B_{W}}$ 

che viene mostrata nel modo seguente: sia

${\displaystyle B=\{v_{1},\ldots ,v_{d}\},\quad B_{U}=\{u_{1},\ldots ,u_{s}\},\quad B_{W}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}.}$ 

Supponiamo l'esistenza di una combinazione lineare nulla

${\displaystyle \lambda _{1}v_{1}+\ldots \lambda _{d}v_{d}+\mu _{1}u_{1}+\ldots +\mu _{s}u_{s}+\gamma _{1}w_{1}+\ldots +\gamma _{t}w_{t}=0.\,\!}$ 

In altre parole, raggruppando

${\displaystyle v=\lambda _{1}v_{1}+\ldots \lambda _{d}v_{d},\quad u=\mu _{1}u_{1}+\ldots +\mu _{s}u_{s},\quad w=\gamma _{1}w_{1}+\ldots +\gamma _{t}w_{t}}$ 

si ottiene

${\displaystyle v+u+w=0.\,\!}$ 

Da questo segue che ${\displaystyle w=-v-u}$ , e poiché sia ${\displaystyle v}$  che ${\displaystyle u}$  appartengono a ${\displaystyle U}$ , ne segue che anche ${\displaystyle w}$  appartiene a ${\displaystyle U}$ . Quindi ${\displaystyle w}$  appartiene all'intersezione ${\displaystyle U\cap W}$ , e si scrive come combinazione lineare di elementi di ${\displaystyle B}$ . D'altra parte, come elemento di ${\displaystyle W}$ , è descritto come combinazione lineare di elementi di ${\displaystyle B_{W}}$ : poiché ogni elemento ha un'unica descrizione come combinazione lineare di elementi di una base, ne segue che entrambe queste combinazioni hanno tutti i coefficienti nulli. Quindi

${\displaystyle \gamma _{1}=\ldots =\gamma _{t}=0,\quad w=0.}$ 

Si ottiene quindi ${\displaystyle v+u=0}$ . Poiché i vettori

${\displaystyle B\cup B_{U}}$ 

sono una base di ${\displaystyle U}$ , sono quindi indipendenti, e ne segue che anche

${\displaystyle \lambda _{1}=\ldots =\lambda _{d}=0,\quad \mu _{1}=\ldots =\mu _{s}=0.}$ 

Quindi i coefficienti sono tutti nulli: l'insieme

${\displaystyle B\cup B_{U}\cup B_{W}}$ 

è formato da elementi indipendenti, ed è quindi una base.

Conteggio dimensioni

Usando le notazioni appena introdotte, il conteggio delle dimensioni dà proprio

${\displaystyle \dim(U+W)=d+s+t=(d+s)+(d+t)-d=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).}$ 

Dimostrazione alternativa

Consideriamo la funzione

${\displaystyle f\;\colon \;U\times W\to U+W\;\colon \;(u,w)\mapsto u+w}$ 

che si verifica essere un'applicazione lineare, inoltre banalmente ${\displaystyle \mathrm {im} (f)=U+W}$  e ${\displaystyle \ker(f)=\{(v,-v):v\in U\cap W\}}$ , quest'ultimo è uno spazio vettoriale isomorfo a ${\displaystyle U\cap W}$  (l'isomorfismo è ${\displaystyle \phi \,\colon \,\ker(f)\to U\cap W\,\colon \,(v,-v)\mapsto v}$ ), quindi

${\displaystyle \dim(U+W)+\dim(U\cap W)=\dim(\mathrm {im} (f))+\dim(\ker(f))}$ 

${\displaystyle =\dim(U\times W)=\dim(U)+\dim(W)}$ 

dove si è applicato il teorema del rango più nullità.

Proprietà

• La formula di Grassmann dice che i sottospazi di uno spazio vettoriale muniti delle operazioni binarie + e ${\displaystyle \cap }$  costituiscono un reticolo modulare.

Voci correlate

• base
• Teorema della dimensione

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