Sottoinsieme

Nella teoria degli insiemi si indica con sottoinsieme un insieme che è contenuto in un altro insieme al quale si riferisce, vale a dire che l'insieme B è un sottoinsieme di A se tutti gli elementi presenti in B sono anche presenti in A.

B è propriamente incluso in A

Nel caso in cui tutti gli elementi di A appartengono anche a B si parla di sottoinsieme improprio (in altre parole ogni insieme è un sottoinsieme improprio di se stesso). Si parla di sottoinsieme proprio se almeno un elemento di A non è compreso nell'insieme B.

Il simbolo usato per indicare un sottoinsieme è ${\displaystyle \subseteq }$ oppure ${\displaystyle \subset }$, mentre il simbolo per indicare un sottoinsieme proprio è ${\displaystyle \subset }$ oppure ${\displaystyle \subsetneq }$ (quando si vuole mettere in evidenza che B non coincide con A).

La notazione

${\displaystyle B\subset A}$

si legge: "B è un sottoinsieme (proprio) di A" oppure "B è incluso (propriamente) in A" oppure "B è contenuto (propriamente) in A", ed è così definita:

${\displaystyle B\subset A\Leftrightarrow (b\in B\Rightarrow b\in A)}$.

Analogamente si definisce il concetto di sovrainsieme; il simbolo usato è ${\displaystyle \supseteq }$ oppure ${\displaystyle \supset }$ per il sovrainsieme, e ${\displaystyle \supset }$ oppure ${\displaystyle \supsetneq }$ per il sovrainsieme proprio.

Valgono

${\displaystyle B\subset A\Leftrightarrow A\supset B}$

${\displaystyle B\subseteq A\Leftrightarrow A\supseteq B}$,

nonché l'utile proprietà

${\displaystyle (B\subseteq A\land A\subseteq B)\Rightarrow A=B.}$

L'insieme vuoto ${\displaystyle \varnothing }$ è sottoinsieme di ogni altro insieme.

Inoltre, se ${\displaystyle B\subseteq A}$, allora:

${\displaystyle B\cup A=A}$

${\displaystyle B\cap A=B}$

Voci correlate

• Teoria degli insiemi
• Insieme delle parti
• ${\displaystyle \cup }$  : unione
• ${\displaystyle \cap }$  : intersezione
• ${\displaystyle \subset }$  : inclusione

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