Teoria degli insiemi
Template:Avvisounicode La teoria degli insiemi svolge un ruolo importante per i fondamenti della matematica e si colloca nell'ambito della logica matematica. Prima della metà del sec. XIX la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. Essa è stata inizialmente sviluppata nella seconda metà del XIX secolo dal matematico tedesco Georg Cantor, è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal 1890 al 1930 ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di Ernst Zermelo, Adolf Fraenkel, Paul Bernays, Kurt Gödel, John von Neumann e Thoralf Skolem. In questo periodo si sono assestati due sistemi di assiomi chiamati rispettivamente sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel e sistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel.
Successivamente si sono affrontate le tematiche riguardanti il problema della completezza dei sistemi di assiomi (v. teorema di incompletezza di Gödel), i rapporti con la teoria della calcolabilità (v.a. macchina di Turing) e la compatibilità dei sistemi di assiomi con l'assioma della scelta e con assiomi equivalenti o simili.
Accanto a differenti consolidate teorie formali degli insiemi (vedi anche teoria assiomatica degli insiemi) esistono esposizioni più intuitive che costituiscono la cosiddetta teoria naïve degli insiemi.
Elenchiamo le entità principali della teoria degli insiemi.
Nozioni di base
- elemento
- insieme, chiamato anche assieme, aggregato, collezione, set
- sottoinsieme
- filtro
- ultrafiltro
Operatori e costruzioni
- unione: (OR nell'Algebra Booleana)
- intersezione: ∩ (AND nell'Algebra Booleana)
- complemento: C (NOT nell'Algebra Booleana)
- differenza: \
- differenza simmetrica: Δ (XOR nell'Algebra Booleana)
- prodotto cartesiano
- insieme potenza o insieme delle parti
- Somma disgiunta
Relazioni
Insiemi delle diverse cardinalità e controllabilità
Insiemi numerici
Bibliografia
- (EN) Paul Halmos (1960): Naive set theory, D. Van Nostrand Company. Ristampato da Springer nel 1974, ISBN 0-387-90092-6
- (EN) Nicolas Bourbaki (1968): Théorie des ensembles, Hermann
- (EN) Robert E. Edwards (1979): A formal Background to Mathematics Ia. Logic, sets and Numbers, Springer, ISBN 3-540-90431-X
- (EN) Robert E. Edwards (1979): A formal Background to Mathematics Ib. Logic, sets and Numbers, Springer, ISBN 3-540-90431-X
Voci correlate
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