Utente:Dr Zimbu/Sandbox

Teoria della fattorizzazione^[?!]

Commutativo, integro, unitario: esempio non commutativo (Bolker). (Cercare fonti, cercare meglio se è diffusa)

Definizioni fondamentali

Alcune definizioni basilari non sono altro che la trasposizione di analoghe definizioni date nell'insieme dei numeri interi: si dice che a divide b se esiste un c tale che ab = c. Un elemento invertibile di A è detto unità dell'anello; due elementi a e b sono detti associati se si dividono a vicenda o, equivalentemente, se ${\displaystyle a=ub}$ , dove u è un'unità dell'anello.

Per definire una fattorizzazione è poi necessario definire quali sono gli elementi "base", analogamente ai numeri primi tra gli interi; in questo caso esistono tuttavia due modi diversi di estendere la definizione:

• un elemento è irriducibile se non è invertibile e non può essere scritto come il prodotto di due elementi anch'essi non invertibili;
• un elemento è primo se non è invertibile e ogni volta che divide il prodotto ab, allora divide a oppure b (equivalentemente, se l'ideale principale che genera è primo).

In generale queste due definizioni non sono equivalenti: tuttavia ogni elemento primo è irriducibile. Una fattorizzazione in irriducibili è la scrittura di un elemento x come prodotto di elementi irriducibili; analogamente si definisce una fattorizzazione in primi.

Fattorizzazione unica e proprietà più forti

Una volta stabilito in quali elementi fattorizzare, si può definire quando due fattorizzazioni sono da considerarsi "la stessa": ad esempio le fattorizzazioni ${\displaystyle a=xy}$  e ${\displaystyle a=yx}$  sono, a tutti gli effetti pratici, indistinguibili; ovvero una fattorizzazione non deve tener conto dell'ordine con cui si considerano i fattori. Un'altra ambiguità si ha a causa dell'eventuale presenza di unità diverse da 1: da esempio, se ${\displaystyle uv=1}$ , allora le fattorizzazioni ${\displaystyle a=xy}$  e ${\displaystyle a=(ux)(vy)}$ , pur coinvolgendo elementi diversi, si comportano allo stesso modo riguardo, ad esempio, alla divisibilità: quindi si può ammettere anche che gli irriducibili (o i primi) siano uguali a meno di moltiplicazione per un'unità. Nell'insieme dei numeri interi, le unità sono 1 e -1, e quindi quest'ultima condizione può essere omessa imponendo che gli irriducibili siano positivi; in un anello generico, tuttavia, non è possibile operare in questo modo.

Si dice quindi che due fattorizzazioni ${\displaystyle a=x_{1}\cdots x_{n}}$  e ${\displaystyle a=y_{1}\cdots y_{m}}$  sono uguali se n = m e se, a meno di riordinare i fattori, x_k e y_k sono associati per ogni k.

Mentre è possibile che esistano più fattorizzazioni in elementi irriducibili, l'esistenza di una fattorizzazione in elementi primi garantisce la sua unicità: infatti, se

${\displaystyle p_{1}\cdots p_{n}=q_{1}\cdots q_{m}}$ 

sono due fattorizzazioni, p₁ divide il prodotto a destra, e quindi deve dividere uno dei q_i; poiché anche i fattori a destra sono primi, p₁ e q_i sono associati, e quindi possono essere semplificati, iterando il ragionamento.

Un dominio a fattorizzazione unica (in breve UFD, dall'inglese unique factorization ___domain) è un dominio in cui ogni elemento ha una fattorizzazione in irriducibili, e quest'ultima è unica. In questo caso, gli elementi irriducibili e i primi coincidono; in effetti, A è un UFD se e solo se ogni elemento può essere fattorizzato in irriducibili e ogni irriducibile è primo, e se e solo se ogni elemento ha una fattorizzazione in primi. Un'altra caratterizzazione si ottiene per mezzo degli ideali primi: A è un UFD se e solo se ogni ideale primo contiene un elemento primo.^{[serve qui?]}

Ogni dominio ad ideali principali è a fattorizzazione unica; inoltre, un UFD di dimensione 1 è ad ideali principali. Una proprietà ancora più forte è l'essere un dominio euclideo, in cui può essere effettuata la divisione col resto.

Esistenza

I domini in cui è possibile effettuare la fattorizzazione in irriducibili di ogni elemento sono detti atomici; una proprietà leggermente più forte è quella per cui gli ideali principali verificano la condizione della catena ascendente. Quest'ultima proprietà, benché meno generale, è però più stabile dell'essere un dominio atomico: ad esempio si conserva passando all'anello dei polinomi e a quello delle serie formali, al contrario dell'essere un dominio atomico.

I domini atomici sono una vasta gamma di anelli, che comprende tutti i anelli noetheriani e i domini di Krull, ma sono lontani dal comprendere tutti i domini d'integrità: ad esempio l'anello delle funzioni olomorfe sull'intero piano complesso non è un dominio atomico. Questo avviene perché tutti gli elementi irriducibili (a meno di associati) sono nella forma ${\displaystyle x-a}$ , e quindi una funzione f(x) ammette una fattorizzazione se e solo se ha un numero finito di zeri; se invece ha un numero infinito di zeri (come, ad esempio, la funzione seno) non la possiede. È da osservare che in questo caso si può recuperare sia l'esistenza che l'unicità della fattorizzazione attraverso procedure analitiche di passaggio al limite; tale risultato è noto come teorema di fattorizzazione di Weierstrass. Altri esempi di domini non atomici sono tutti gli anelli di valutazione non noetheriani.

All'estremo opposto, esistono domini (che non siano campi) in cui non esiste alcun elemento irriducibile: ad esempio, l'anello di tutti gli interi algebrici non è un campo, ma ogni ${\displaystyle \alpha }$  può essere fattorizzato come ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\alpha }}\cdot {\sqrt {\alpha }}}$ , in quanto anche ${\displaystyle {\sqrt {\alpha }}}$  è un intero algebrico.

MCD & co.

Un massimo comun divisore tra a e b è un elemento d che divide entrambi e che è diviso da qualsiasi altro divisore comune; un minimo comune multiplo è un multiplo di a e b che divide ogni altro multiplo comune. In generale, non è vero che due elementi abbiano un massimo comun divisore o un minimo comune multiplo; se hanno quest'ultimo, hanno anche un MCD, mentre il viceversa non è vero: ad esempio, se K è un campo e ${\displaystyle A=K[X^{2},X^{3}]}$ , gli elementi X² e X³ hanno un massimo comun divisore (1) ma non un minimo comune multiplo. Se però tutte le coppie di elementi hanno un MCD, allora hanno anche un mcm; in questo caso l'anello è detto MCD-dominio (o dominio MCD). Un altro modo di caratterizzarli è attraverso gli ideali principali: A è un MCD-dominio se e solo se l'intersezione di due ideali principali è ancora principale. Quando il massimo comun divisore di a e b può essere sempre espresso come combinazione lineare dei due elementi, si ha un'identità di Bézout; se questo avviene per ogni coppia di elementi, l'anello è detto dominio di Bézout. Equivalentemente, un dominio di Bézout è un dominio in cui ogni ideale finitamente generato è principale.

Nei domini a fattorizzazione unica il massimo comun divisore esiste, in quanto si può ricavare dalla fattorizzazione. Gli MCD-domini posseggono inoltre una delle due caratteristiche^[?] degli UFD: in essi infatti ogni elemento irriducibile è primo, come può essere dimostrato attraverso un analogo del lemma di Euclide; ne segue che, in un MCD-dominio, se un elemento ha una fattorizzazione allora essa è unica, e un UFD è precisamente un MCD-dominio atomico. Un dominio MCD può però non essere atomico (ad esempio l'anello delle funzioni intere è un MCD-dominio - anzi, è di Bézout - ma non è atomico).

Miscellanea

In ideali primi: Dedekind; decomposizione primaria come forma più debole?

Fallisce in parte: HFD, gruppo di Picard