Utente:Dr Zimbu/Sandbox

Teoria della fattorizzazione^[?!]

Commutativo, integro, unitario

È^{[ci va qualcosa prima]} possibile sviluppare una teoria della fattorizzazione unica nell'anello dei quaternioni a coefficienti interi o semidispari, in modo da dimostrare il teorema dei quattro quadrati, analogamente alla dimostrazione del teorema di Fermat sulle somme di due quadrati attraverso gli interi gaussiani.^[1]

Storia

La prima dimostrazione esplicita del teorema fondamentale dell'aritmetica, ovvero che l'insieme dei numeri interi è a fattorizzazione unica, si deve a Carl Frederich Gauss, che la inserì nelle Disquisitiones Artimeticae, pubblicate nel 1798.^[2] Questa proprietà era però già nota ai matematici precedenti: Euclide dimostra negli Elementi che ogni numero può essere scritto come prodotto di numeri primi e quello che oggi è noto come lemma di Euclide (Libro VII, proposizioni 31 e 32), risultati dai quali si ricava facilmente la proprietà di fattorizzazione unica.

Nel Settecento, Eulero usò implicitamente le proprietà di fattorizzazione unica degli interi e di altri anelli per provare alcuni teoremi, tra i quali alcuni casi particolari dell'ultimo teorema di Fermat. I suoi metodi furono ampliati nell'Ottocento; nel 1847, Gabriel Lamé annunciò di star lavorando su una dimostrazione generale, basata sugli anelli di interi ciclotomici: tuttavia i suoi metodi si basavano implicitamente sul fatto che questi anelli fossero a fattorizzazione unica, mentre già tre anni prima Ernst Kummer aveva fatto notare che questa proprietà falliva per n = 23.^[nota?] Kummer stesso sviluppò nuovi metodi che aggiravano questo problema per molti esponenti; le sue idee, nella forma che poi le diede Richard Dedekind, formarono la base del concetto di ideale e dello studio degli anelli.

Basta?

Definizioni fondamentali

Le definizioni basilari non sono altro che la trasposizione di analoghe definizioni date nell'insieme dei numeri interi: si dice che a divide b se esiste un c tale che ab = c. Un elemento invertibile di A è detto unità dell'anello; due elementi a e b sono detti associati se si dividono a vicenda o, equivalentemente, se ${\displaystyle a=ub}$ , dove u è un'unità dell'anello.

Per definire una fattorizzazione è poi necessario definire quali sono gli elementi "base", analogamente ai numeri primi tra gli interi; esistono tuttavia due modi diversi di estendere la definizione:

• un elemento è irriducibile se non è invertibile e non può essere scritto come il prodotto di due elementi anch'essi non invertibili;
• un elemento è primo se non è invertibile e ogni volta che divide il prodotto ab, allora divide a oppure b.

In generale queste due definizioni non sono equivalenti, ma ogni elemento primo è irriducibile. Una fattorizzazione in irriducibili è la scrittura di un elemento x come prodotto di elementi irriducibili; analogamente si definisce una fattorizzazione in primi.

Queste proprietà possono essere tradotte in termini di ideali principali: a divide b se e solo se l'ideale (a) contiene l'ideale (b), mentre a e b sono associati se generano lo stesso ideale; un elemento è invertibile se l'ideale generato è l'intero anello. Un elemento è primo se e solo se l'ideale che genera è primo, mentre è irriducibile se non è contenuto in alcun ideale principale.

Fattorizzazione unica e proprietà più forti

Una volta stabilito in quali elementi fattorizzare, si può definire quando due fattorizzazioni sono da considerarsi "la stessa": ad esempio le fattorizzazioni ${\displaystyle a=xy}$  e ${\displaystyle a=yx}$  sono indistinguibili: di conseguenza l'"unicità" non deve tener conto dell'ordine con cui si considerano i fattori. Un'altra ambiguità si ha a causa dell'eventuale presenza di unità diverse da 1: da esempio, se ${\displaystyle uv=1}$ , allora le fattorizzazioni ${\displaystyle a=xy}$  e ${\displaystyle a=(ux)(vy)}$ , pur coinvolgendo elementi diversi, si comportano allo stesso modo riguardo, ad esempio, alla divisibilità: quindi si può ammettere anche che gli irriducibili (o i primi) siano uguali a meno di moltiplicazione per un'unità. Nell'insieme dei numeri interi, le unità sono 1 e -1, e quindi quest'ultima condizione può essere omessa imponendo che gli irriducibili siano positivi; in un anello generico, tuttavia, non è possibile operare una scelta "canonica".

Si dice quindi che due fattorizzazioni ${\displaystyle a=x_{1}\cdots x_{n}}$  e ${\displaystyle a=y_{1}\cdots y_{m}}$  sono uguali se n = m e se, a meno di riordinare i fattori, x_k e y_k sono associati per ogni k.

Mentre è possibile che esistano più fattorizzazioni in elementi irriducibili, l'esistenza di una fattorizzazione in elementi primi garantisce la sua unicità: infatti, se

${\displaystyle p_{1}\cdots p_{n}=q_{1}\cdots q_{m}}$ 

sono due fattorizzazioni, p₁ divide il prodotto a destra, e quindi deve dividere uno dei q_i; poiché anche i fattori a destra sono primi, p₁ e q_i sono associati, e quindi possono essere semplificati, iterando il ragionamento.

Un dominio a fattorizzazione unica (in breve UFD, dall'inglese unique factorization ___domain) è un dominio in cui ogni elemento ha una fattorizzazione in irriducibili, e quest'ultima è unica. In questo caso, gli elementi irriducibili e i primi coincidono; in effetti, A è un UFD se e solo se ogni elemento può essere fattorizzato in irriducibili e ogni irriducibile è primo, e se e solo se ogni elemento ha una fattorizzazione in primi. Un'altra caratterizzazione si ottiene per mezzo degli ideali primi: A è un UFD se e solo se ogni ideale primo contiene un elemento primo.^{[serve qui?]}

Ogni dominio ad ideali principali è a fattorizzazione unica; inoltre, un UFD di dimensione 1 è ad ideali principali. Una proprietà ancora più forte è l'essere un dominio euclideo, in cui può essere effettuata la divisione col resto.

Se tutte le fattorizzazioni di ogni elemento hanno lo stesso numero di fattori, il dominio è detto metà fattoriale.^[dove?]

Fattorizzazione in ideali

Una fattorizzazione in irriducibili, o in primi, può essere "tradotta" nel linguaggio degli ideali: se infatti ${\displaystyle a=x_{1}\cdots x_{k}}$ , allora, a livello di ideali ${\displaystyle (a)=(x_{1})\cdots (x_{k})}$ : questo punto di vista permette di eliminare l'ambiguità relativa ai fattori tra loro associati, in quanto questi generano lo stesso ideale. Se la fattorizzazione è unica, ovvero se gli x_i sono primi, allora gli ideali (x_i) sono primi; quindi se A è un dominio a fattorizzazione unica allora ogni ideale principale può essere espresso come prodotto di ideali primi principali.

Questo suggerisce di^[bah] considerare gli anelli in cui gli ideali possono essere espressi come prodotto di ideali primi: essi sono detti domini di Dedekind. Qui, sebbene gli ideali principali sono prodotto di ideali primi, non è detto che questi siano principali: in effetti un dominio di Dedekind è un UFD se e solo se è ad ideali principali; in caso contrario, si può "misurare" quando A è lontano dall'essere a fattorizzazione unica mediante un gruppo ad esso associato, detto gruppo delle classi.

La fattorizzazione unica in ideali primi consente comunque di "salvare" alcune proprietà dei domini a fattorizzazione unica: questa è una tecnica usata nella teoria algebrica dei numeri, in quanto ogni anello di interi algebrici in un'estensione finita dei numeri razionali è di Dedekind.^{[non mi convince]}

Esistenza

I domini in cui è possibile effettuare la fattorizzazione in irriducibili di ogni elemento sono detti atomici; una proprietà leggermente più forte è quella per cui gli ideali principali verificano la condizione della catena ascendente. Quest'ultima proprietà, benché meno generale, è però più stabile dell'essere un dominio atomico: ad esempio si conserva passando all'anello dei polinomi e a quello delle serie formali, al contrario dell'essere un dominio atomico.^[3] Il primo esempio di dominio atomico che non verifica la condizione della catena ascendente sugli ideali principali fu dato da Anne Grams nel 1974.^[4][5]

I domini atomici sono una vasta gamma di anelli, che comprende tutti i domini noetheriani e i domini di Krull, ma sono lontani dal comprendere tutti i domini d'integrità: ad esempio l'anello delle funzioni olomorfe sull'intero piano complesso non è un dominio atomico. Questo avviene perché tutti gli elementi irriducibili (a meno di associati) sono nella forma ${\displaystyle x-a}$ , e quindi una funzione f(x) ammette una fattorizzazione se e solo se ha un numero finito di zeri; se invece ha un numero infinito di zeri (come, ad esempio, la funzione seno) non la possiede. È da osservare che in questo caso si può recuperare sia l'esistenza che l'unicità della fattorizzazione attraverso procedure analitiche: tale risultato è noto come teorema di fattorizzazione di Weierstrass. Altri esempi di domini non atomici sono tutti gli anelli di valutazione non noetheriani.

All'estremo opposto, esistono domini (che non sono campi) in cui non esiste alcun elemento irriducibile: ad esempio, l'anello di tutti gli interi algebrici non è un campo, ma ogni ${\displaystyle \alpha }$  può essere fattorizzato come ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\alpha }}\cdot {\sqrt {\alpha }}}$ , in quanto anche ${\displaystyle {\sqrt {\alpha }}}$  è un intero algebrico.

MCD & co.

Un massimo comun divisore tra a e b è un elemento d che divide entrambi e che è diviso da qualsiasi altro divisore comune; un minimo comune multiplo è un multiplo di a e b che divide ogni altro multiplo comune. In generale, non è detto che due elementi abbiano un massimo comun divisore o un minimo comune multiplo; se hanno quest'ultimo, hanno però anche un MCD, mentre il viceversa non è vero: ad esempio, se K è un campo e ${\displaystyle A=K[X^{2},X^{3}]}$ , gli elementi X² e X³ hanno un massimo comun divisore (1) ma non un minimo comune multiplo. Se però tutte le coppie di elementi hanno un MCD, allora hanno anche un mcm; in questo caso l'anello è detto MCD-dominio (o dominio MCD). Un altro modo di caratterizzare questi anelli è attraverso gli ideali principali: A è un MCD-dominio se e solo se l'intersezione di due ideali principali qualsiasi è ancora principale. Quando il massimo comun divisore di a e b può essere sempre espresso come combinazione lineare dei due elementi, si ha un'identità di Bézout; se questo avviene per ogni coppia di elementi, l'anello è detto dominio di Bézout: questo è equivalente a chiedere che ogni ideale finitamente generato è principale.

Nei domini a fattorizzazione unica il massimo comun divisore esiste, in quanto si può ricavare dalla fattorizzazione. Gli MCD-domini posseggono inoltre una delle due caratteristiche^[?] degli UFD: in essi infatti ogni elemento irriducibile è primo, come può essere dimostrato attraverso un analogo del lemma di Euclide; ne segue che, in un MCD-dominio, se un elemento ha una fattorizzazione allora essa è unica, e un UFD è precisamente un MCD-dominio atomico. Un dominio MCD può però non essere atomico (ad esempio l'anello delle funzioni intere è un MCD-dominio - anzi, è di Bézout - ma non è atomico).

Note

1. ^ Bolker,..^[completa]
2. ^ Carl Benjamin Boyer, Storia della matematica, Milano, Mondadori, 1990, p. 582, ISBN 978-88-04-33431-6.
3. ^ Clark, teorema 17, pagina 8
4. ^ Anne Grams, Atomic rings and the ascending chain condition for principal ideals, in Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 75, 1974, pp. 321-329.
5. ^ Dan Anderson, David Anderson e Muhammad Zafrullah, Factorization in Integral Domains (PDF), in Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 69, 1990, pp. 1-19.

Bibliografia

• Pete L. Clark, Factorization in Integral Domains (PDF).
• (EN) Ian Stewart e David Tall, Algebraic number theory and Fermat's last theorem, 3ª ed., Natick, Massachusetts, A K Peters, 2002, ISBN 1-56881-119-5.

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