Passaggio al limite sotto segno di integrale

In analisi matematica, per passaggio al limite sotto segno di integrale si intende la possibilità di ottenere il limite degli integrali di una successione di funzioni come integrale del limite delle funzioni stesse, ovvero la verità dell'uguaglianza

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}(x)\mathrm {d} x=\int _{E}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\mathrm {d} x}$

La possibilità di effettuare questo scambio è un'importante questione, che ha un gran numero di applicazioni teoriche; tuttavia questo passaggio non sempre è corretto. La mancanza di teoremi "buoni" (ovvero con ipotesi sufficientemente generali) che permettano questo scambio è uno dei motivi che hanno portato alla definizione dell'integrale di Lebesgue in sostituzione dell'integrale di Riemann.^[1]

Nel contesto dell'analisi funzionale, i teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale sono lo strumento principale per stabilire se, per una data successione di funzioni, la convergenza puntuale (quasi ovunque) implica la convergenza in norma L¹.

Integrale di Riemann

Nell'integrale di Riemann, la possibilità di passare al limite sotto integrale è strettamente legata alla convergenza uniforme: il teorema principale in questo contesto afferma che lo scambio è possibile se l'insieme di integrazione è limitato e la convergenza è uniforme. La dimostrazione di questo teorema segue quasi immediatamente dalle definizioni, in quanto

${\displaystyle 0\leq \left|\int _{E}[f_{k}(x)-f(x)]\mathrm {d} x\right|\leq \int _{E}|f_{k}(x)-f(x)|\mathrm {d} x\leq |E|\sup {\{f_{k}(x)-f(x)\}}}$ 

che tende a 0 per la convergenza uniforme. Né un'ipotesi né l'altra sono sufficienti a garantire lo scambio: per un insieme non limitato si può prendere ad esempio la successione

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{n}}\mathrm {X} _{[n,2n]}(x)}$ 

(dove Χ indica la funzione indicatrice), mentre in un insieme non limitato un semplice esempio è

${\displaystyle f_{n}(x)=n\mathrm {X} _{\left[0,{\frac {1}{n}}\right]}(x)}$ 

In entrambi i casi, le funzioni tendono puntualmente alla funzione identicamente nulla (la prima in ${\displaystyle (0,+\infty )}$ , la seconda in [0,1]), che ha ovviamente integrale 0, ma ogni membro della successione ha integrale 1.

Le generalizzazioni di questo teorema mantengono comunque almeno in parte l'ipotesi di convergenza uniforme: si può dimostrare che se la successione {f_n} tende puntualmente ad una funzione f in un insieme E, converge uniformemente in ogni compatto contenuto in E ed esiste una funzione g ad integrale finito tale che

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq g(x)}$ 

per ogni x e per ogni n, allora lo scambio è possibile.

Un ulteriore problema è la possibilità che, pur esistendo il limite puntuale di una successione di funzioni integrabili secondo Riemann, questo non sia a sua volta integrabile: ad esempio, fissando una numerazione ${\displaystyle \{q_{0},q_{1},\ldots ,q_{n},\ldots \}\,}$  dell'insieme dei numeri razionali, e ponendo

${\displaystyle f_{n}(x)=\mathrm {X} _{\{q_{0},q_{1},\ldots ,q_{n}\}}}$ 

si ha una successione di funzioni integrabili (con integrale nullo) che converge puntualmente alla funzione di Dirichlet, che non è integrabile secondo Riemann. Anche in questo caso l'eventuale presenza della convergenza uniforme permette di affermare l'integrabilità della funzione limite.

Integrale di Lebesgue

Nell'integrale di Lebesgue, i teoremi di passaggio al limite sotto integrali hanno ipotesi considerevolmente più deboli rispetto a quelli relativi all'integrale di Riemann. I due teoremi principe sono il teorema della convergenza monotona e il teorema della convergenza dominata. Il primo afferma che lo scambio è possibile se le funzioni sono non negative e se la successione è monotona crescente, mentre il secondo si applica nel caso di funzioni dominate da una funzione integrabile, ovvero in cui esiste una funzione g, ad integrale finito, tale che:

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq g(x)}$ 

per ogni x e per ogni n. Le funzioni devono essere misurabili e non è necessario richiedere come ipotesi che la funzione limite sia misurabile, poiché il limite di una successione di funzioni misurabili è misurabile.

I teoremi possono essere ampliati richiedendo che le ipotesi di convergenza, monotonia e l'essere dominate siano verificate in tutto l'insieme d'integrazione ad eccezione di un insieme di misura nulla.

Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale

• Il teorema della convergenza monotona o di Beppo Levi afferma che se ${\displaystyle \{f_{n}\}}$  una successione di funzioni misurabili non negative tali che:

${\displaystyle 0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \dots \leq \infty \quad \forall x\in X}$ 

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\to f(x)\quad \forall x\in X}$ 

allora f è misurabile e:^[2]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu =\int _{X}fd\mu \ }$ 

Si nota che il valore di ogni integrale può essere infinito.

• Il lemma di Fatou afferma che se ${\displaystyle \{f_{n}\}}$  è una successione di funzioni misurabili non negative tali che:

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }f_{n}\to f\quad \forall x\in E}$ 

allora f è misurabile e:^[3]

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu }$ 

Anche in questo caso il valore di ogni integrale può essere infinito.

• Il lemma di Fatou permette di dimostrare il teorema della convergenza dominata, il quale afferma che se una successione di funzioni misurabili ${\displaystyle \{f_{n}\}}$  converge quasi ovunque ed è dominata da una funzione non negativa ${\displaystyle g\in L^{1}}$ , allora:

${\displaystyle \int _{S}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}}$ 

dove una sequenza si dice dominata da g se:

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq g(x)}$ 

per ogni n e quasi per tutti gli x.

Applicazioni

Serie

Un caso particolare di successione di funzioni sono le somme parziali di una serie, ovvero le successioni del tipo

${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}(x)}$ 

I teoremi di passaggio al limite si trasferiscono immediatamente a questo caso: sfruttando la linearità dell'integrale nel caso di somme finite, si ottiene che la formula

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\int _{E}a_{n}(x)\mathrm {d} x=\int _{E}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x)\mathrm {d} x}$ 

è valida nel caso di addendi positivi (convergenza monotona) o nel caso in cui le somme parziali siano limitate da una funzione integrabile (convergenza dominata), e in particolare nel caso di convergenza assoluta.

In alcuni casi è possibile in questo modo capire se la somma di una serie di funzioni è finita o meno calcolando la somma dei suoi integrali; un esempio è la somma

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {1}{\sqrt {x-q_{n}}}}}$ 

dove {q_n) è una numerazione dei razionali; integrando per serie (grazie al teorema della convergenza monotona) e poiché l'integrale di ogni addendo è minore di A / 2ⁿ per una costante A, l'integrale di f risulta finito, e quindi f stessa continua quasi ovunque.

Un caso molto particolare è dato nel caso in cui la misura considerata sia la misura del conteggio: in tal caso gli integrali si riducono semplicemente alle somme, e nelle ipotesi dei teoremi di scambio (non negatività e convergenza assoluta) si ottiene la formula

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{ij}=\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{\infty }a_{ij}}$ 

Dominio variabile

In alcuni casi a variare non è la funzione, ma il dominio d'integrazione; ovvero, data una successione decrescente {E_n} di insiemi, ci si chiede se

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{E_{n}}f(x)\mathrm {d} x=\int _{\lim _{n\to \infty }E_{n}}f(x)\mathrm {d} x}$ 

In tal caso, ci si può ricondurre al caso moltiplicando per la funzione indicatrice di E_n, ovvero ponendo

${\displaystyle f_{n}(x)=f(x)\mathrm {X} _{E_{n}}(x)}$ 

Si ottiene così una successione di funzioni ai quali possono essere applicati i teoremi precedenti.

Scambio di integrali

  Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Tonelli e Teorema di Fubini.

Il calcolo effettivo della quasi totalità degli integrali multipli dipende in maniera cruciale dalla possibilità di ridurre l'integrale in più dimensioni a più integrali in una dimensione, ovvero di poter avere

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x,y)\mathrm {d} x\mathbb {d} y=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {d} x\int _{\mathbb {R} }f(x,y)\mathrm {d} y=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {d} y\int _{\mathbb {R} }f(x,y)\mathrm {d} x}$ 

dove per semplicità si è scritto un integrale sui reali in due dimensioni. La possibilità di effettuare questo scambio dipende in maniera critica dai teoremi di passaggio al limite: nella dimostrazione del teorema di Tonelli, che afferma la possibilità dello scambio per funzioni positive, un importante passaggio è costituito dall'usare la possibilità di approssimare ogni funzione misurabile con una successione crescente di funzioni semplici, alla quale applicare il teorema della convergenza monotona.

Teoria della probabilità

La teoria della probabilità, che si basa sulla teoria della misura, ha tra i suoi strumenti anche i teoremi di passaggio al limite sotto segno di integrale: due tra gli usi di questo sono nella prova dell'esistenza del valore atteso condizionato e del teorema dell'optional stopping per supermartingale.

Nella prima, dopo aver espresso una variabile casuale integrabile X (cioè in L¹) come limite di una successione crescente {X_n} di funzioni in L² (per cui si può dimostrare più facilmente l'esistenza della media condizionata), si può usare la convergenza monotona per ottenere la media condizionata ${\displaystyle E(X|{\mathfrak {F}})}$  come limite di ${\displaystyle E(X_{n}|{\mathfrak {F}})}$ ; nel secondo invece la convergenza dominata è usata per stabilire sotto quali condizioni (equilibrando quelle richieste sulla successione {X_n} e quelle sul tempo d'arresto τ) si ha

${\displaystyle E(X_{\inf\{n,\tau \}})\to E(X_{\tau })}$ 

in modo da poter usare le proprietà delle supermartingale per ottenere

${\displaystyle E(X_{\tau })\leq E(X_{0})}$ 

e in particolare, per martingale,

${\displaystyle E(X_{\tau })=E(X_{0})\,}$ 

risultato che è spesso utile nel calcolo di ${\displaystyle E(\tau )}$ .

Note

1. ^ Giusti, p. 259
2. ^ W. Rudin, Pag. 21
3. ^ W. Rudin, Pag. 22

Bibliografia

• Enrico Giusti, Analisi matematica 2, terza edizione, Torino, Bollati Boringhieri, 2003, ISBN 88-339-5706-3.
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1987, ISBN 0-07-100276-6.
• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1991, ISBN 978-0-521-40605-5.

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