Utente:Dr Zimbu/Sandbox

<span style="background:#ffffaa; color:#444444"></span>

Da creare

• Lemma di Nakayama (en:Nakayama's lemma)
• Radicale di Jacobson (en:Jacobson radical)
• Anello regolare (en:Regular ring)
• Modulo libero (en:Free module)
• Modulo piatto (en:Flat module)
• Modulo proiettivo (en:Projective module)
• Teorema dell'ideale principale (en:Krull's principal ideal theorem)

Ampliare

• Localizzazione di un anello
  • spostare a Localizzazione (matematica) dopo aver aggiunto moduli?
• Modulo iniettivo (en:Injective module)

Possibilità

• ampliare Anello locale? (en:Local ring)
• aggiungere una sezione sui noeth. loc. in Dimensione di Krull?
• creare Anello semilocale? (en:Semi-local ring)

Modulo libero

In matematica, un modulo libero è un modulo particolarmente simile ad uno spazio vettoriale; più precisamente, se A è un anello, un A-modulo è libero se ha una base, ovvero un insieme di elementi linearmente indipendenti che lo genera.

Nel linguaggio della teoria delle categorie, i moduli liberi sono gli oggetti liberi della categoria degli A-moduli.

Definizione e basi

Sia A un anello e M un modulo su A. M è libero se esiste un insieme E di elementi di M tali che:

• E genera M: ogni elemento di M può essere scritto come combinazione lineare (finita) di elementi di E, ovvero per ogni m in M esistono ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A}$  ed ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}\in E}$  tali che ${\displaystyle m=a_{1}e_{1}+\cdots +a_{n}e_{n}}$ ;
• E è linearmente indipendente: se esistono ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A}$  ed ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}\in E}$  tali che ${\displaystyle a_{1}e_{1}+\cdots +a_{n}e_{n}=0}$  allora tutti gli ${\displaystyle a_{i}}$  sono uguali a 0.

Mentre ogni modulo possiede un insieme di generatori (ad esempio di può prendere E=M stesso), l'indipendenza lineare è una proprietà molto più stringente: esistono ad esempio moduli in cui nessun insieme non vuoto è linearmente indipendente, come lo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -modulo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$  delle classi di resto modulo n.

Se A è un campo, gli A-moduli sono gli spazi vettoriali, e ognuno di essi ha una base: di conseguenza tutti gli A-moduli sono liberi. Vale anche il viceversa: se tutti gli A-moduli sono liberi, ed A è commutativo, allora A è un campo; lasciando cadere l'ipotesi di commutatività, A deve essere un corpo.

Nei moduli liberi, gli elementi della base si comportano come coordinate: segue infatti dall'indipendenza lineare che l'espressione di ogni elemento m come combinazione degli elementi della base è unica. Di conseguenza, un modulo libero è la somma diretta di copie di A.

Un particolare modulo libero è l'anello A stesso.

Se M è libero, non ha un'unica base; in generale, neppure la cardinalità della base è univocamente determinata. Questa quantità è invariante però per tutti gli anelli commutativi^[1] e per tutti gli anelli noetheriani;^[2] in particolare si ottiene che la dimensione degli spazi vettoriali è ben definita. Essa viene detta rango del modulo libero. Anche nei casi in cui il rango non è ben definito, se M ha una base finita anche ogni altra base è finita.^[1]

Costruzione

A partire da un insieme arbitrario E, è possibile costruire un A-modulo libero che ha E come base: considerando tutte le combinazioni lineari formali ${\displaystyle a_{1}e_{1}+\cdots +a_{n}e_{n}}$ , per qualsiasi sottoinsieme finito ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$  e qualsiasi ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A}$ ; l'addizione e la moltiplicazione scalare vengono poi definiti termine a termine.

A partire da questo si può dimostrare che ogni modulo è quoziente di un modulo libero: dato infatti un insieme di generatori E per M (ad esempio E=M stesso), si può formare il modulo libero su E, e considerare il sottomodulo N generato dalle relazioni tra elementi di M (ad esempio, se e+f=0, allora e+f sarà contenuto in N). Il quoziente L/N risulta isomorfo ad M.

Proprietà

Somme e prodotti di moduli liberi sono ancora liberi; lo stesso vale per il prodotto tensoriale di due moduli liberi.

Tutti i moduli liberi sono proiettivi e piatti; unito al fatto che ogni modulo è quoziente di un modulo libero, questo dimostra che ogni modulo ha una risoluzione proiettiva.

Note

1. Template:Planethmath
2. ^ (EN) Paul Moritz Cohn, Introduction to ring theory, Springer, 2000, pp.169-171, ISBN 1-85233-206-9.

Bibliografia

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.

Collegamenti esterni

• Template:EncyMath

[[Categoria:Teoria dei moduli|Libero]] [[ca:Mòdul lliure]] [[de:Freier Modul]] [[en:Free module]] [[es:Módulo libre]] [[fr:Module libre]] [[he:מודול חופשי]] [[nl:Vrije module]] [[ru:Свободный модуль]] [[sv:Fri modul]] [[zh:自由模]]

Modulo piatto^{[non comm?]}

In algebra, un modulo piatto è un modulo che "si comporta bene" rispetto al prodotto tensoriale; più precisamente, dato un anello A, un modulo sinistro M è piatto se per ogni successione esatta di A-moduli

${\displaystyle \cdots \longrightarrow N_{i-1}\longrightarrow N_{i}\longrightarrow N_{i+1}\longrightarrow \cdots }$ 

la successione

${\displaystyle \cdots \longrightarrow N_{i-1}\otimes M\longrightarrow N_{i}\otimes M\longrightarrow N_{i+1}\otimes M\longrightarrow \cdots }$ 

(dove le mappe della seconda successione sono ottenute da quelle della prima tensorizzando con l'identità su M) è ancora esatta; analogamente, un modulo destro M è piatto se è esatta la successione

${\displaystyle \cdots M\otimes \longrightarrow N_{i-1}\longrightarrow M\otimes N_{i}\longrightarrow M\otimes N_{i+1}\longrightarrow \cdots }$ 

In altri termini, un modulo sinistro è piatto se il funtore ${\displaystyle -\otimes M}$  è esatto, mentre un modulo destro è piatto se è esatto ${\displaystyle M\otimes -}$ 

Definizioni equivalenti

Per verificare la piattezza di un modulo è sufficiente considerare le successioni esatte corte: M è piatto se e solo se, per ogni esatta corta

${\displaystyle 0\longrightarrow N'\longrightarrow N\longrightarrow N''\longrightarrow 0}$ 

anche la successione tensorizzata

${\displaystyle 0\longrightarrow N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M\longrightarrow N''\otimes M\longrightarrow 0}$ 

è esatta. Anche questa definizione è in qualche modo ridondante, perché, se

${\displaystyle N'\longrightarrow N\longrightarrow N''\longrightarrow 0}$ 

è una successione esatta, allora

${\displaystyle N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M\longrightarrow N''\otimes M\longrightarrow 0}$ 

è sempre esatta; di conseguenza è sufficiente richiedere che, se ${\displaystyle f:N'\longrightarrow N}$  è iniettiva, allora ${\displaystyle f\otimes 1:N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M}$  è ancora iniettiva. Raffinando ulteriormente, M è piatto se e solo se questo avviene quando N' e N sono finitamente generati.^[1]

Equivalentemente, si possono definire i moduli piatti in termini del funtore Tor: un modulo sinistro M è piatto se e solo se ${\displaystyle Tor_{i}^{A}(N,M)=0}$  per ogni i >0 e per ogni A-modulo N. Anche questa condizione può essere raffinata, richiedendo solo che ${\displaystyle Tor_{1}^{A}(N,M)=0}$ .

Le stesse proprietà valgono simmetricamente per i moduli destri.

Proprietà

Il prodotto tensoriale di due moduli piatti è ancora piatto; la somma diretta dei moduli M_i è piatta se e solo se lo è ogni M_i.

Ogni localizzazione ${\displaystyle S^{-1}A}$  di A (se S è contenuto nel centro di R) è un A-modulo piatto; di conseguenza, le localizzazioni di un modulo piatto sono ancora piatte.

Ogni modulo libero e ogni modulo proiettivo sono piatti; il viceversa non è vero in generale, sebbene un modulo piatto finitamente presentato sia proiettivo.^[2]

Caso commutativo

Se A è un anello commutativo integro, ogni A-modulo piatto è privo di torsione; di conseguenza, ogni dominio che non è un campo possiede moduli che non sono piatti (ad esempio i quozienti su ideali non nulli).

Un anello tale che tutti i suoi ideali sono piatti è detto assolutamente piatto: questi possono essere caratterizzati come quegli anelli tali che ${\displaystyle I^{2}=I}$  per ogni ideale principale I.^[3] Un anello locale è assolutamente piatto se e solo se è un campo,^[4] mentre un anello ridotto è assolutamente piatto se e solo se ha dimensione 0.^[5]

Note

1. ^ Atiyah p.29, Atiyah, MacDonald.
2. ^ Weibel, p.71
3. ^ Clarke, p.69
4. ^ Clarke, p.117-118
5. ^ Clarke, p.180

Bibliografia

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
• (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, ISBN 0-521-43500-5.
• Pete L. Clark, Commutative Algebra (PDF). URL consultato il 1º novembre 2011.

Collegamenti esterni

• Template:EncyMath

Lemma di Nakayama

Il lemma di Nakayama è un teorema di grande importanza nello studio degli anello commutativi unitari. Afferma che, se I è un ideale di A contenuto nel suo radicale di Jacobson, ed M è un A-modulo finitamente generato tale che IM = M, allora M è il modulo nullo.