Processo di Poisson

Un processo di Poisson, dal nome del matematico francese Siméon-Denis Poisson (1781 - 1840), è un processo stocastico che simula il manifestarsi di eventi che siano indipendenti l'uno dall'altro e che accadano continuamente nel tempo. Il processo è definito da una collezzione di variabili aleatorie N(t) per t>0, che vengono viste come il numero di eventi occorsi dal tempo 0 al tempo t. Inoltre il numero di eventi tra il tempo a e il tempo b è dato come N(b) − N(a) ed ha una distribuzione di Poisson. Ogni traiettoria del processo (ovvero ogni possibile mappa da t a N(t)) è una funzione a gradino sui numeri interi

Il processo di Poisson è un processo a tempo continuo: la sua controparte a tempo discreto è il processo di Bernoulli. Il processo di Poisson è uno dei più famosi processi di Lévy. I processi di Poisson sono anche esempi di processo markoviano a tempo continuo.

Tipi di processi di Poisson

Processo di Poisson omogeneo

 

Esempio di traiettoria di un processo di Poisson

Un processo di Poisson omogeneo è caratterizzato da un parametro di frequenza λ, detto intensità, tale che il numero di eventi in un intervallo di tempo ${\displaystyle (t,t+\tau ]}$  seguono una distribuzione di Poisson con il parametro associato ${\displaystyle \lambda \tau }$ . Questa relazione è data come

${\displaystyle P[(N(t+\tau )-N(t))=k]={\frac {e^{-\lambda \tau }(\lambda \tau )^{k}}{k!}}\qquad k=0,1,\ldots ,}$ 

dove N(t + τ) − N(t) descrive il numero di eventi in un intervallo di tempo (t, t + τ].

Così come una variabile casuale di Poisson è caratterizzata dal suo parametro scalare λ, un processo di Poisson omogeneo è caratterizzato dal suo parametro di frequenza λ, che corrisponde con il valore atteso del numero di "eventi" che si manifestano per unità di tempo.

Nel dettaglio:

Avendo assunto che λ sia costante possiamo ritenere

${\displaystyle P[(N(t+\tau )-N(t))=k]=P[N(T)=k]}$ 

con ${\displaystyle T=(t,t+\tau ]}$ , in quanto tale probabilità non dipende più dagli istanti iniziale e finale ma solo dalla durata dell'intervallo.

Possiamo inoltre suddividere T in n intervallini di ampiezza δ tale che ${\displaystyle T=n\delta }$  e sufficientemente piccoli tale che

${\displaystyle P[N(\delta )=1]=p}$ 

${\displaystyle P[N(\delta )=0]=1-p}$ 

${\displaystyle P[N(\delta )>1]}$  ≈ 0

Per ogni singolo intervallino abbiamo quindi una distribuzione di probabilità di Bernoulli il cui valore medio risulta p. Il numero medio di eventi per un intervallo di durata T risulta quindi:

${\displaystyle \lambda T=np}$ 

Assumiamo infine che il numero di eventi per ogni intervallino non dipenda da ciò che avviene negli altri intervalli.

Abbiamo in pratica modellato il processo contatore come un'estrazione semplice, per cui la probabilità che si verifichino k eventi in un intervallo T equivale alla probabilità che k intervallini su n contengano un evento e ${\displaystyle (n-k)}$  non ne contengano affatto:

${\displaystyle P[N(T)=k]={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ 

sostituendo quindi p con ${\displaystyle \lambda T/n}$  e calcolando il limite per n → ∞, ovvero per δ→ 0, attraverso alcuni passaggi che omettiamo per brevità si arriva alla formula finale:

${\displaystyle P[(N(T)=k]={\frac {e^{-\lambda T}(\lambda T)^{k}}{k!}}\qquad k=0,1,\ldots ,}$ 

Processo di Poisson non omogeneo

In generale, può accadere che l'intensità del processo cambi nel tempo, ovvero λ=λ(t). In questo caso si parla di processo di Poisson non omogeneo.

Il numero di eventi in un intervallo [a,b] è una distribuzione di Poisson di parametro λ_a,b, dove

${\displaystyle \lambda _{a,b}=\int _{a}^{b}{\lambda (t)dt}}$ 

ovvero

${\displaystyle P[(N(b)-N(a))=k]={\frac {e^{-\lambda _{a,b}}(\lambda _{a,b})^{k}}{k!}}\qquad k=0,1,\ldots .}$ 

Processo di Poisson spaziale

Voci correlate

• Distribuzione di Poisson
• Processo markoviano
• Processo stocastico

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