In matematica , una funzione integrabile o funzione sommabile rispetto ad un dato operatore integrale è una funzione il cui integrale esiste ed il suo valore è finito.
La definizione dipende quindi da quale operatore integrale si utilizza; tuttavia, data la maggior diffusione e generalità dell'integrale di Lebesgue rispetto agli altri, per funzione integrabile si intende integrabile secondo Lebesgue .
Nella maggior parte dei casi i termini "integrabile" e "sommabile" sono sinomini, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste e può essere infinito.
Definizione rigorosa
Nel seguito si espongono le definizioni dei due integrali più usati, l'integrale di Riemann e l'integrale di Lebesgue .
Integrale di Riemann
Una funzione
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
limitata si dice integrabile secondo Riemann se esiste finito il limite:
lim
δ
→
0
S
(
f
,
P
,
{
t
i
}
)
=:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{\delta \to 0}S(f,P,\{t_{i}\})=:\int _{a}^{b}f(x)dx}
dove
P
=
{
x
1
.
.
.
,
x
n
}
{\displaystyle P=\{x_{1}...,x_{n}\}}
partizione dell'intervallo
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
mesh minore di
δ
{\displaystyle \delta }
t
i
∈
[
x
i
−
1
,
x
i
]
{\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}
S
(
f
,
P
,
{
t
i
}
)
=
∑
i
=
1
n
f
(
t
i
)
(
x
i
−
x
i
−
1
)
{\displaystyle S(f,P,\{t_{i}\})=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})}
Il limite deve essere inteso nel seguente modo. Per ogni
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
δ
{\displaystyle \delta }
t
i
{\displaystyle t_{i}}
|
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
−
S
(
f
,
P
,
{
t
i
}
)
|
<
ε
{\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)dx-S(f,P,\{t_{i}\})\right|<\varepsilon }
Integrale di Lebesgue
Dato uno spazio di misura
(
X
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}
funzione semplice :
s
:
X
→
R
,
s
(
x
)
=
∑
k
=
1
n
a
k
1
A
k
(
x
)
{\displaystyle s:X\to \mathbb {R} ,s(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x)}
si definisce l'integrale di Lebesgue come:
∫
X
s
(
x
)
d
μ
:=
∑
k
=
1
n
a
k
μ
(
A
k
)
{\displaystyle \int _{X}s(x)d\mu :=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k})}
Una funzione
f
:
X
→
R
{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
estremo superiore :
sup
s
∫
X
s
(
x
)
d
μ
=:
∫
X
f
(
x
)
d
μ
{\displaystyle \sup _{s}\int _{X}s(x)d\mu =:\int _{X}f(x)d\mu }
dove
s
{\displaystyle s}
s
≤
f
{\displaystyle s\leq f}
In generale, una qualsiasi funzione si dice integrabile se lo sono le funzioni non negative:
f
+
(
x
)
=
{
f
(
x
)
se
f
(
x
)
≥
0
0
altrimenti
{\displaystyle f^{+}(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)\geq 0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.}
f
−
(
x
)
=
{
−
f
(
x
)
se
f
(
x
)
<
0
0
altrimenti
{\displaystyle f^{-}(x)=\left\{{\begin{matrix}-f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)<0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.}
che sono rispettivamente la parte positiva e parte negativa di
f
{\displaystyle f}
Si definisce in tal caso:
∫
X
f
(
x
)
d
μ
:=
∫
X
f
+
(
x
)
d
μ
−
∫
X
f
−
(
x
)
d
μ
{\displaystyle \int _{X}f(x)d\mu :=\int _{X}f^{+}(x)d\mu -\int _{X}f^{-}(x)d\mu \,}
Altri tipi di integrali
Voci correlate 
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82811fdf676362991070d2ed9c835e61f95590f6)
