Utente:Dr Zimbu/Sandbox

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Da creare

• Radicale di Jacobson (en:Jacobson radical)
• Modulo proiettivo (en:Projective module)

Ampliare

• Localizzazione di un anello
  • spostare a Localizzazione (matematica) dopo aver aggiunto moduli?
• Modulo iniettivo (en:Injective module)

Possibilità

• ampliare Anello locale? (en:Local ring)
• aggiungere una sezione sui noeth. loc. in Dimensione di Krull?
• creare Glossario di teoria dei moduli?
• creare Anello semilocale? (en:Semi-local ring)

Modulo iniettivo

In matematica, un modulo iniettivo è un modulo con la proprietà di essere un addendo diretto di ogni modulo che lo contiene: ovvero Q è iniettivo se, per ogni modulo M che lo contiene, esiste un sottomodulo N di M tale che ${\displaystyle M=N\oplus Q}$ .

Questo concetto è il duale di quello di modulo proiettivo; è stato introdotto da Reinold Baer nel 1940. Un esempio di modulo iniettivo è lo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -modulo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  dei numeri razionali.

Definizioni equivalenti

Sia A un anello e Q un A-modulo sinistro. La definizione precedente (Q è iniettivo se è addendo di ogni modulo che lo contiene) può essere espressa in termini di successioni esatte: Q è iniettivo se e solo se ogni successione esatta corta

${\displaystyle 0\longrightarrow Q\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0}$ 

si spezza, ovvero se ${\displaystyle M=Q\oplus g^{-1}(N)}$  (dove g è la mappa da M a N).

È possibile caratterizzare i moduli iniettivi anche attraverso una proprietà di sollevamento: Q è un modulo iniettivo se e solo se per ogni omomorfismo iniettivo di A-moduli sinistri f : X → Y e per ogni omomorfismo g : X → Q esiste un omomorfismo di moduli h : Y → Q tale che hf = g, cioè tale da far commutare il seguente diagramma:

 

Il criterio di Baer afferma inoltre che per verificare che Q sia iniettivo è sufficiente considerate il caso in cui Y = A è l'anello e X un suo ideale.

Altre definizioni equivalenti sfruttano maggiormente la teoria delle categorie: Q è iniettivo se e solo se il funtore ${\displaystyle Hom_{A}(-,Q)}$  è esatto; usando il funtore Ext, Q è iniettivo se ${\displaystyle Ext_{A}^{1}(M,Q)=0}$  per ogni A-modulo M.

Esempi e proprietà

Risoluzioni iniettive

Una risoluzione iniettiva di un modulo M è una successione esatta

${\displaystyle 0\longrightarrow M\longrightarrow Q_{0}\longrightarrow Q_{1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow Q_{n}\longrightarrow \cdots }$ 

dove i Q_i sono moduli iniettivi; poiché ogni modulo è contenuto in un modulo iniettivo, ogni M ha una risoluzione iniettiva. Se Q_k è il modulo nullo per k > n in poi, la risoluzione è detta finita; il minimo n per cui questo avviene - ovvero il minimo n per cui esiste una risoluzione finita

${\displaystyle 0\longrightarrow M\longrightarrow Q_{0}\longrightarrow Q_{1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow Q_{n}\longrightarrow 0}$ 

è detto dimensione iniettiva di M; se M non ha una risoluzione finita, la sua dimensione iniettiva è infinito. L'estremo superiore delle dimensioni iniettive degli A-moduli è detto dimensione globale (o omologica) di A.

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Bibliografia

• (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, ISBN 0-521-43500-5.

Collegamenti esterni

• Template:EncyMath

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Modulo proiettivo

In matematica, un modulo proiettivo è un modulo con la proprietà di essere un addendo diretto di un modulo libero: ovvero P è proiettivo se esiste un modulo libero F e un suo sottomodulo N tale che ${\displaystyle F=P\oplus N}$ 

Questo concetto è il duale di quello di modulo iniettivo; è stato introdotto da Henri Cartan e Samuel Eilenberg nel 1956.

Definizioni equivalenti

Sia A un anello e P un A-modulo sinistro. La definizione precedente (P è proiettivo se è addendo di un modulo libero) può essere generalizzata: P è proiettivo se è un addendo di ogni modulo che si proietta su di esso; in termini di successioni esatte: P è proiettivo se e solo se ogni successione esatta corta

${\displaystyle 0\longrightarrow N\longrightarrow M\longrightarrow P\longrightarrow 0}$ 

si spezza, ovvero se ${\displaystyle M=N\oplus g^{-1}(P)}$  (dove g è la mappa da M a P).

È possibile caratterizzare i moduli proiettivi anche attraverso una proprietà di sollevamento: P è un modulo proiettivo se e solo se per ogni omomorfismo suriettivo di A-moduli sinistri f : N → M e per ogni omomorfismo g : P → M esiste un omomorfismo di moduli h : P → N tale che hf = g, cioè tale da far commutare il seguente diagramma:

 

Altre definizioni equivalenti sfruttano maggiormente la teoria delle categorie: P è proiettivo se e solo se il funtore ${\displaystyle Hom_{A}(P,-)}$  è esatto; usando il funtore Ext, P è proiettivo se ${\displaystyle Ext_{A}^{1}(P,M)=0}$  per ogni A-modulo M.

Esempi e proprietà

Tutti i moduli liberi sono proiettivi; il viceversa non è in generale vero, sebbene valga per i domini ad ideali principali, per gli anelli locali e per gli anelli di polinomi in più variabili su un campo. Esempi di moduli proiettivi ma non liberi sono gli ideali non principali di un dominio di Dedekind, o gli ideali nella forma eA, dove e è un idempotente di A: ad esempio, se ${\displaystyle A=A_{1}\times A_{2}}$ , allora ${\displaystyle A_{1}\times 0}$  e ${\displaystyle 0\times A_{2}}$  sono A-moduli proiettivi (in quanto ${\displaystyle A=A_{1}\oplus A_{2}}$ ) ma non liberi.

Su un campo o su un corpo, tutti i moduli sono proiettivi; in generale, se tutti gli A-moduli sono proiettivi, l'anello è detto semisemplice. Questo avviene, inoltre, se e solo se tutti gli A-moduli sono iniettivi, e se e solo se la sua dimensione globale è 0.

Una somma diretta ${\displaystyle P=\bigoplus P_{i}}$  di moduli è proiettiva se e solo se lo è ogni addendo; il prodotto tensoriale di due moduli proiettivi è ancora proiettivo.

Un ideale di A è un A-modulo proiettivo se e solo se è invertibile.

Tutti i moduli proiettivi sono piatti; anche in questo caso, il viceversa non è vero. Tuttavia, tutti i moduli piatti finitamente presentati sono proiettivi.^[1]

Risoluzioni proiettive

Una risoluzione proiettiva di un modulo M è una successione esatta

${\displaystyle \cdots \longrightarrow P_{n}\longrightarrow \cdots \longrightarrow P_{1}\longrightarrow P_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$ 

in cui ogni P_i è proiettivo; poiché ogni modulo è il quoziente di un modulo libero, ogni modulo ha una risoluzione proiettiva. Se P_k è il modulo nullo per ogni k maggiore di un n, la risoluzione è detta finita; il minimo n per cui esiste una risoluzione finita

${\displaystyle 0\longrightarrow P_{n}\longrightarrow \cdots \longrightarrow P_{1}\longrightarrow P_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$ 

è detto dimensione proiettiva di M; se M non ha alcuna risoluzione finita, la sua dimensione proiettiva è infinito. L'estremo superiore della dimensioni proiettive degli A-moduli è detta dimensione globale (o omologica) di A.

Note

1. ^ Weibel, p.71

Bibliografia

• (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, ISBN 0-521-43500-5.

Collegamenti esterni

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