Teorema del gradiente

Il teorema del gradiente, noto anche come teorema fondamentale del calcolo per integrali di linea, afferma che l'integrale di linea di un campo vettoriale conservativo, che può cioè essere espresso come il gradiente di un campo scalare, è calcolabile semplicemente valutando il campo scalare considerato (noto a meno di una costante) agli estremi della curva su cui è svolta l'integrazione. Ricordiamo che ogni campo vettoriale irrotazionale può essere espresso come il gradiente di un campo scalare. In formule il teorema diventa

${\displaystyle \phi \left(\mathbf {q} \right)-\phi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\Sigma }\nabla \phi \cdot d\mathbf {r} }$

dove ${\displaystyle \Sigma }$ è una curva qualsiasi orientata da p a q. È chiaramente una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo ad una curva qualsiasi, piuttosto che ad un segmento della retta reale.

Il teorema del gradiente implica che gli integrali di linea di un campo conservativo sono indipendenti dal percorso. In fisica questo teorema è uno dei modi comunemente usati per definire i potenziali scalari. Il significato fondamentale è che il lavoro fatto da forze conservative non dipende dal percorso seguito, ma solo dagli estremi, come mostra l'equazione sopra scritta.

Dimostrazione

Può essere derivato direttamente dal teorema di Stokes. Sia ${\displaystyle \,\phi }$  un campo scalare, e ${\displaystyle \Sigma }$  una curva da p a q; si ha

${\displaystyle \,\int _{\partial \Sigma }\phi =\int _{\Sigma }d\phi }$ 

ma dato che ${\displaystyle \partial \Sigma }$  si riduce alla coppia costituita dai due estremi della curva

${\displaystyle \phi \left(\mathbf {q} \right)-\phi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\Sigma }d\phi =\int _{\Sigma }\nabla \phi \cdot d\mathbf {r} }$ 

come si voleva dimostrare.

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