Teorema di Borsuk-Ulam

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Dimostrazione

Si presenta la dimostrazione nel caso delle seguente ipotesi:

${\displaystyle \,f\;}$  : S^m → R^m continua con ${\displaystyle m}$  = 1, 2 (vale ∀m ≥ 1) ⇒ ∃${\displaystyle x}$  ∈ S^m tale che: :${\displaystyle \,f(x)\;}$  = ${\displaystyle \,f(-x)\;}$ .

Dim.

${\displaystyle \,f(x)\;}$  ≠ ${\displaystyle \,f(-x)\;}$  ∀${\displaystyle x}$  ∈ S^m

g : S^m → S^m−1 costruita la ${\displaystyle g(x)={f(x)-f(-x) \over ||f(x)-f(-x)||}}$ .

g| : S₊^m circa uguale B^m → S^m−1 continua e tale che: Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \,g(−x)\;} = Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \,−g(x)\;} ∀${\displaystyle x}$  ∈ S^m−1

Osservazione

Per il caso di uno spazio a due dimensioni, questo teorema è soventemente illustrato dicendo che, in ogni instante sulla superficie terrestre, ci sono due punti diametralmente opposti tali che la loro pressione e temperatura è uguale. Supposto che la temperatura e la pressione variano in maniera continua.

Questo teorema fu ipotizzato da Stanislaw Marcin Ulam e provato da Karol Borsuk nel 1933.