Completamento di un anello (redirect Completamento (teoria degli anelli), Anello completo)

In matematica, il completamento di un anello è un'operazione che permette di ottenere, a partire da un anello A, un altro anello ${\hat {A}}$ con proprietà in generale "migliori", allo stesso modo con cui uno spazio metrico può essere completato; lo stesso nome "completamento" deriva dal fatto che tale operazione può essere vista come completamento di A rispetto alla topologia definita dalle potenze di un suo ideale I, detta topologia I-adica.

Il completamento di un anello è generalmente utilizzato quando A è un anello noetheriano locale, che possiede cioè un unico ideale massimale M, e in cui la topologia è quella M-adica.

Un anello che coincide col suo completamento rispetto ad I è detto I-completo, o semplicemente completo se A è locale e I=M il suo ideale massimale. Esempi di anelli completi sono l'insieme $\mathbb {Z} _{(p)}$ dei numeri p-adici (completamento di $\mathbb {Z}$ rispetto all'ideale $p\mathbb {Z}$ ) e l'anello delle serie formali $K[[x]]$ su un campo K (completamento dell'anello dei polinomi $K[x]$ rispetto all'ideale generato da x).

Costruzione

Vi sono due costruzioni del completamento ${\hat {A}}$ di un anello A: la prima topologica, la seconda algebrica.

La prima si fonda sul concetto di topologia I-adica, dove I è un ideale di A: essa è la topologia generata dalle potenze $I^{n}$ di I (il cui insieme è un sistema fondamentale di intorni di 0) e da tutti gli insiemi $a+I^{n}$ (per $a\in A$ ), questi ultimi aggiunti in modo da rendere A un anello topologico. Su questa topologia si possono definire le successioni di Cauchy (e la loro equivalenza) e quindi definire ${\hat {A}}$ come l'insieme delle successione di Cauchy quozientato per equivalenza.

La seconda fa uso della nozione di limite inverso: dal momento che $I^{n+1}\subseteq I^{n}$ , è sempre possibile definire degli omomorfismi di anelli canonici ; all'interno del prodotto diretto $\Pi _{n}G/I^{n}$ , ${\hat {A}}$ è identificato come l'insieme delle successioni coerenti^[?], ovvero delle successioni $(x_{n})$ tali che $\theta _{n+1}(x_{n+1})=x_{n}$ .

Entrambe queste costruzioni possono essere estese ai moduli su A: il completamento I-adico di un modulo M può essere definito come il completamento rispetto alla topologia generata dai sottomoduli $I^{n}M$ (e $m+I^{n}M$ ) oppure come il limite inverso della successione . Una terza possibilità è di definire il completamento ${\hat {M}}$ come il prodotto tensoriale $M\otimes _{A}{\hat {A}}$ . In questo modo, ${\hat {M}}$ diventa non solo un A-modulo, ma anche un ${\hat {A}}$ -modulo.

Proprietà

Rapporti tra un anello e il suo completamento

Teorema di struttura

Il teorema di struttura di Cohen è stato dimostrato da Irvin Cohen nel 1946^{[dovrebbe essere Cohen, I. S. (1946). "On the structure and ideal theory of complete local rings". Trans. Amer. Math. Soc. 59 (1)]}.

Afferma che, se A un anello noetheriano completo che contiene un campo k, allora $A\simeq {\frac {K[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}{I}}$ dove d è il numero di generatori dell'ideale massimale di A, I è un ideale di $K[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]$ e K è il campo residuo di A.