Utente:Dr Zimbu/Sandbox

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Da creare

• Dominio di Krull
• Completamento di un anello (+redirect Completamento (teoria degli anelli))
• Modulo semplice (serve?)
• Anello delle serie formali
• Dominio di Bézout (poco...)
• Anello di Cohen-Macaulay (+redirect Anello di Macaulay e/o Anello di Cohen)
• Anello di Gorenstein

Possibilità

• ampliare Anello locale? (en:Local ring)
• creare Glossario di teoria dei moduli?
• creare Anello semilocale? (en:Semi-local ring)

Completamento di un anello (redirect Completamento (teoria degli anelli), Anello completo)

In matematica, il completamento di un anello è un'operazione che permette di ottenere, a partire da un anello A, un altro anello ${\displaystyle {\hat {A}}}$  con proprietà in generale "migliori", allo stesso modo con cui uno spazio metrico può essere completato; lo stesso nome "completamento" deriva dal fatto che tale operazione può essere vista come completamento di A rispetto alla topologia definita dalle potenze di un suo ideale I, detta topologia I-adica.

Il completamento di un anello è generalmente utilizzato quando A è un anello noetheriano locale, che possiede cioè un unico ideale massimale M, e in cui la topologia è quella M-adica.

Un anello che coincide col suo completamento rispetto ad I è detto I-completo, o semplicemente completo se A è locale e I=M il suo ideale massimale. Esempi di anelli completi sono l'insieme ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$  dei numeri p-adici (completamento di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  rispetto all'ideale ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$ ) e l'anello delle serie formali ${\displaystyle K[[x]]}$  su un campo K (completamento dell'anello dei polinomi ${\displaystyle K[x]}$  rispetto all'ideale generato da x).

Costruzione

Vi sono due costruzioni del completamento ${\displaystyle {\hat {A}}}$  di un anello A: la prima topologica, la seconda algebrica.

La prima si fonda sul concetto di topologia I-adica, dove I è un ideale di A: essa è la topologia generata dalle potenze ${\displaystyle I^{n}}$  di I (il cui insieme è un sistema fondamentale di intorni di 0) e da tutti gli insiemi ${\displaystyle a+I^{n}}$  (per ${\displaystyle a\in A}$ ), questi ultimi aggiunti in modo da rendere A un anello topologico. Su questa topologia si possono definire le successioni di Cauchy (e la loro equivalenza) e quindi definire ${\displaystyle {\hat {A}}}$  come l'insieme delle successione di Cauchy quozientato per equivalenza.

La seconda fa uso della nozione di limite inverso: dal momento che ${\displaystyle I^{n+1}\subseteq I^{n}}$ , è sempre possibile definire degli omomorfismi di anelli canonici ${\displaystyle \theta _{n}:G/I^{n+1}\longrightarrow G/I^{n}}$ ; all'interno del prodotto diretto ${\displaystyle \Pi _{n}G/I^{n}}$ , ${\displaystyle {\hat {A}}}$  è identificato come l'insieme delle successioni coerenti^[?], ovvero delle successioni ${\displaystyle (x_{n})}$  tali che ${\displaystyle \theta _{n+1}(x_{n+1})=x_{n}}$ .

Entrambe queste costruzioni possono essere estese ai moduli su A: il completamento I-adico di un modulo E può essere definito come il completamento rispetto alla topologia generata dai sottomoduli ${\displaystyle I^{n}E}$  (e ${\displaystyle m+I^{n}E}$ ) oppure come il limite inverso della successione ${\displaystyle (E/I^{n})}$ . Una terza possibilità è di definire il completamento ${\displaystyle {\hat {E}}}$  come il prodotto tensoriale ${\displaystyle M\otimes _{A}{\hat {A}}}$ . In questo modo, ${\displaystyle {\hat {E}}}$  diventa non solo un A-modulo, ma anche un ${\displaystyle {\hat {A}}}$ -modulo.

Proprietà

Rapporti tra un anello e il suo completamento

Il passaggio da un anello locale A al suo completamento M-adico ${\displaystyle {\hat {A}}}$  conserva alcune proprietà. Se A è noetheriano, allora ${\displaystyle {\hat {A}}}$  è ancora noetheriano e locale, e ha la stessa dimensione di A. Inoltre, se I è un ideale di A, allora la sua estensione ad ${\displaystyle {\hat {A}}}$  è esattamente il completamento di I (visto come A-modulo) nella topologia M-adica; in particolare, l'ideale massimale di ${\displaystyle {\hat {A}}}$  è l'estensione dell'ideale massimale di A.

Altre proprietà, invece, non si comportano altrettanto bene; un anello locale noetheriano A è detto

• analiticamente non ramificato se ${\displaystyle {\hat {A}}}$  è ridotto, ovvero non ha nilpotenti;
• analiticamente irriducibile se ${\displaystyle {\hat {A}}}$  è integro;
• analiticamente normale se ${\displaystyle {\hat {A}}}$  è integralmente chiuso^{[richiede che A sia un dominio?]}.

Teorema di struttura

Il teorema di struttura di Cohen è stato dimostrato da Irvin Cohen nel 1946^{[dovrebbe essere Cohen, I. S. (1946). "On the structure and ideal theory of complete local rings". Trans. Amer. Math. Soc. 59 (1)]}.

Esso afferma che, se A un anello noetheriano completo che contiene un campo k, allora A è isomorfo a ${\displaystyle {\frac {K[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}{I}}}$  dove d è il numero di generatori dell'ideale massimale M di A, I è un ideale di ${\displaystyle K[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}$  e K è il campo residuo di A (ovvero il quoziente A / M).

È da notare che le ipotesi del teorema non richiedono che A contenga il proprio campo residuo: ad esempio, se A contiene l'insieme ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  dei numeri razionali e il suo campo residuo è ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , allora il teorema garantisce che A contenga anche ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . In effetti, la parte più lunga e complessa della dimostrazione è quella che deduce, a partire dall'inclusione di k in A, anche la presenza di K.

In particolare, se la caratteristica di A è un numero primo p, allora A contiene il campo finito ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ , e quindi A contiene anche il suo campo residuo.

Nel caso in cui A sia anche regolare, il numero di generatori di M è uguale alla dimensione dell'anello; da questo si deduce che I deve essere l'ideale nullo, ovvero che un anello regolare locale completo deve essere isomorfo a ${\displaystyle K[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}$ . Alcuni risultati della teoria degli anelli regolari possono essere dimostrati a partire da questo teorema, riducendosi al caso completo (spesso sfruttando la piattezza del completamento).

Il teorema di Cohen non comprende tutti gli anelli completi, in quanto questi non necessariamente comprendono un campo: un esempio è l'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$  dei numeri p-adici

Bibliografia

• Atiyah
• Eisenbud

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