Coefficiente binomiale

Il coefficiente binomiale è definito da

${\displaystyle C(n;k)={n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}}}$

(dove n! è il fattoriale di n) e può essere calcolato anche facendo ricorso al triangolo di Tartaglia.

e ha le seguenti proprietà:

• ${\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1}$

Dimostrazione

${\displaystyle {n \choose 0}={{n!} \over {0!(n-0)!}}={n! \over n!}=1}$

${\displaystyle {n \choose n}={{n!} \over {n!(n-n)!}}={n! \over n!}=1}$

• ${\displaystyle {n \choose 1}={n \choose n-1}=n}$

Dimostrazione

${\displaystyle {n \choose 1}={{n!} \over {1!(n-1)!}}={{n!} \over {(n-1)![n-(n-1)]!}}={n \choose n-1}=n}$

• ${\displaystyle {n \choose k}={n \choose n-k}}$

Dimostrazione

${\displaystyle {n \choose k}={{n!} \over {k!(n-k)!}}={{n!} \over {(n-k)![n-(n-k)]!}}={n \choose n-k}}$

• ${\displaystyle {n+1 \choose k+1}={n \choose k+1}+{n \choose k}}$ , formula per il binomio di Newton

Dimostrazione

${\displaystyle {n \choose k+1}+{n \choose k}={{n!} \over {(k+1)!(n-k-1)!}}+{{n!} \over {k!(n-k)!}}}$

considerando il fatto che ${\displaystyle (n-k)!=(n-k)(n-k-1)!}$, ed allo stesso modo ${\displaystyle (k+1)!=(k+1)k!}$ si ha ${\displaystyle {n \choose k+1}+{n \choose k}={{n!} \over {(k+1)k!(n-k-1)!}}+{{n!} \over {(n-k)k!(n-k-1)!}}}$

da cui si ottiene

${\displaystyle {(n-k){n!} \over {(k+1)(n-k)k!(n-k-1)!}}+{(k+1){n!} \over {(k+1)(n-k)k!(n-k-1)!}}}$

e quindi

${\displaystyle {n \choose k+1}+{n \choose k}={(n-k+k+1){n!} \over {(k+1)k!(n-k)(n-k-1)!}}}$

${\displaystyle {n \choose k+1}+{n \choose k}={{(n+1)!} \over {(k+1)!(n-k)!}}={n+1 \choose k+1}}$

ovvero la tesi

• ${\displaystyle {n+1 \choose k+1}={k \choose k}+{k+1 \choose k}+{k+2 \choose k}+...+{n-1 \choose k}+{n \choose k}}$
• ${\displaystyle 2^{n}={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+...+{n \choose n-1}+{n \choose n}}$

Voci correlate

• Coefficiente binomiale simmetrico
• Teorema binomiale
• Fattoriale
• Calcolo combinatorio, Combinazione, Permutazione
• Probabilità
• Variabile casuale binomiale
• Statistica