Circuito RC

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Un circuito RC è un circuito elettronico basato su una resistenza e un condensatore.

A seconda di come sono disposti i due componenti il circuito RC può filtrare le frequenze basse (filtro passa-basso) oppure quelle alte (filtro passa-alto), realizzando un filtro di primo ordine.

Per le sue caratteristiche questo circuito è basilare per funzioni quali la pulizia di un segnale e nei sintetizzatori.

Sfruttando il principio di carica e scarica del condensatore, questa configurazione trova utilizzo anche come oscillatore. In particolare, soprattutto nella didattica, è utilizzato per la generazione di segnali di clock (vedere abbinamento con Trigger di Schmitt per creare segnali di tipo logici).
Tuttavia, vista la variabilità dei comportamenti del condensatore in funzione delle condizioni ambientali, questa configurazione è utilizzata nelle applicazioni in cui la temporizzazione non necessita grande precisione.

Analisi attraverso la trasformata di Laplace

 

Applichiando la trasformata di Laplace pensando che il condensatore sia inizialmente scarico:

${\displaystyle {R\rightarrow R}}$  e ${\displaystyle {C\rightarrow {1 \over sC}}}$ 

Adesso il circuito si risolve come un normale partitore di tensione per ricavare la tensione sul condensatore:

${\displaystyle V_{c}(s)={{1 \over sC} \over {R+{1 \over sC}}}V_{in}(s)\rightarrow V_{c}(s)={1 \over {1+sRC}}V_{in}(s)={{1 \over RC} \over {s+{1 \over RC}}}V_{in}(s)}$ 

Per ricavare la funzione di trasferimento ${\displaystyle H(s)=V_{carico}/V_{ingresso}}$  basta dividere l'equazione per la ${\displaystyle V_{in}}$ :

${\displaystyle H(s)={V_{c}(s) \over V_{in}(s)}={{1 \over RC} \over {s+{1 \over RC}}}}$ 

Questa è la funzione di trasferimento di un filtro passa basso del primo ordine con pulsazione di taglio:

${\displaystyle \omega _{0}={1 \over RC}\rightarrow f_{0}={1 \over 2\pi RC}}$ 

Con i valori del circuito in figura si ottiene una frequenza di taglio (calcolata a -3dB dela funzione di trasferimento) del filtro pari a ${\displaystyle f_{0}=159.1[KHz]}$ 

File:CircuitoRCac.JPG

Per la risposta nel dominio del tempo bisogna anti-trasformare la funzione ${\displaystyle V_{c}(s)}$ . Se consideriamo il segnale di ingresso a gradino (funzione di Heaviside) di ampiezza V_{in}:

${\displaystyle V_{in}(s)={V_{in} \over s}\rightarrow }$ 

Possiamo riscrivere l'equazione ${\displaystyle V_{c}(s)}$ :

${\displaystyle V_{c}(s)={{1 \over {RC}} \over {({1 \over RC}+s)}}{V_{in} \over s}}$ 

Applicando il principio di identità dei polinomi otteniamo:

${\displaystyle V_{c}(s)={{1 \over {RC}} \over {({1 \over RC}+s)}}{V_{in} \over s}={V_{in} \over s}-{V_{in} \over {s+{1 \over {RC}}}}}$ 

Questa funzione è molto facile da anti-trasformare:

${\displaystyle V_{c}(t)=V_{in}(1-e^{-t \over {RC}})}$