Utente:Cantor26/Sandbox

Trattazione matematica dell'origine dell'universo

Secondo la legge di Hubble la velocità di allontanamento delle galassie dell'universo è direttamente proporzionale alla loro distanza dove la costante di proporzionalità è detta costante di Hubble. Questa legge si deduce osservando le righe di assorbimento della luce delle galassie. Si nota in particolare che la riga ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ,la prima riga della serie Balmer dell'idrogeno, delle galassie più lontane è spostata verso il rosso rispetto alla riga ${\displaystyle H_{\alpha }}$  dell'idrogeno in laboratorio sebbene l'idrogeno sia lo stesso in laboratorio e nella galassia. E siccome la luce rossa ha una frequenza minore e la lunghezza d'onda è inversamente proporzionale alla frequenza allora indicando con ${\displaystyle \lambda _{r}}$  e ${\displaystyle \lambda _{e}}$  rispettivamente la lunghezza d'onda della luce ricevuta e la lunghezza d'onda della luce emessa dalla galassia si ha :

${\displaystyle \lambda _{r}>\lambda _{e}}$ 

Tale fenomeno fisico si spiega mediante l'effetto Doppler secondo cui se la sorgente di un'onda elettromagnetica e un osservatore si allontanano la frequenza dell'onda elettromagnetica diminuisce e conseguentemente aumenta la sua lunghezza d'onda per cui indicando con v la velocità di allontanamento della sorgente si ha :

${\displaystyle \lambda _{r}=\lambda _{e}+vT}$ 

essendo vT lo spazio percorso dalla sorgente nel periodo T dell'onda . Quindi essendo

${\displaystyle v={\dfrac {\lambda _{r}-\lambda _{e}}{T}}}$ 

la velocità di allontanamento v è proporzionale a ${\displaystyle \lambda _{r}-\lambda _{e}}$ 

ma dalle osservazioni si nota che più la galassia è lontana maggiore risulterà ${\displaystyle \lambda _{r}-\lambda _{e}}$  quindi la distanza d è proporzionale a ${\displaystyle \lambda _{r}-\lambda _{e}}$  e quindi si ottiene la legge di Hubble :

${\displaystyle \ v=Hd}$ 

dove H è la costante di Hubble.

L'idea che sta alla base della cosmologia costruita sulla teoria della gravitazione di Einstein è che la distribuzione di materia fa incurvare lo spazio-tempo . Ad esempio si può verificare che lo spazio-tempo intorno al sole è curvo e la curvatura dipende dalla massa del sole. Se si suppone l'universo omogeneo ed isotropo in base al principio cosmologico e quindi la densità di materia dell'universo data dal rapporto tra la sua massa ed il suo volume è costante fissato un determinato istante di tempo allora, lo spazio tridimensionale si incurva e la curvatura per il principio cosmologico è costante ma in un istante di tempo successivo sia la densità che la curvatura saranno diverse, infatti la densità dipende dal volume e il volume dipende dal raggio di curvatura, per cui visto che per la legge di Hubble l'universo si espande anche il raggio di curvatura varierà nel tempo e quindi anche la densità e la curvatura. Ad esempio una 2-sfera che si può immaginare facilmente si può ottenere facendo incurvare uno spazio bidimensionale e introducendo una terza dimensione, analogamente una 3-sfera si può ottenere facendo incurvare uno spazio tridimensionale solo che risulta più difficile immaginarla, tra l'altro in tal caso introdurre una quarta dimensione spaziale non è assolutamente necessario. Einstein ha dimostrato che esistono 3 tipi di spazi tridimensionali a curvatura costante contraddistinti dal parametro k:

1. lo spazio euclideo a curvatura nulla (k=0) a cui siamo abituati
2. lo spazio sferico a curvatura positiva (k=1)
3. lo spazio iperbolico a curvatura negativa (k=-1)

Nell'ipotesi che lo spazio tridimensionale sia sferico a curvatura positiva, per cui noi viviamo su questa sfera, se noi ci troviamo in un punto P della sfera, mentre la galassia che staimo osservando si trova in Q nella sfera, la distanza l tra P e Q sarà data dalla lunghezza della geodetica, cioè dell'arco di cerchio massimo, che collega P a Q.La geodetica forma un angolo ${\displaystyle \theta }$  tra i 2 raggi di curvatura R per cui usando la relazione

${\displaystyle \ 2\pi :\theta =2\pi R:l}$ 

si ottiene:

${\displaystyle \ l=R\theta }$ 

Durante l'espansione varia R ma non ${\displaystyle \theta }$  .

Ma per la velocità di allontanamento di P da Q e per la legge di Hubble si ha :

${\displaystyle \ v={\frac {dl}{dt}}=R'\theta ={\frac {R'}{R}}l=Hl}$ 

e quindi :

${\displaystyle H={\dfrac {R'}{R}}}$ 

Pertanto la costante di Hubble è il rapporto tra la velocità di espansione dell'universo e il raggio di curvatura dell'universo. Supponendo che la velocità di espansione sia costante si ottiene un moto uniforme e quindi in un tempo pari all'inverso della costante di Hubble (circa 15 miliardi di anni) il raggio dell'universo doveva essere nullo. In realtà l'espansione dell'universo è in accelerazione^[1][2] per cui l'ipotesi di velocità costante è errata e quindi il risultato non è corretto ma da stime più precise risulta che l'universo esiste da 13,7 miliardi di anni.

Facendo un'opportuna semplificazione si può ipotizzare che l'universo sia una 2-sfera, cioè una sfera ottenuta incurvando lo spazio bidimensionale, di cui abbiamo una netta percezione e non una 3-sfera, cioè una sfera ottenuta incurvando lo spazio tridimensionale, che rappresenta una delle due possibili alternative di spazi a curvatura costante assieme alla spazio iperbolico. Considerata una galassia al bordo della 2-sfera, per il teorema di Gauss il flusso del campo gravitazionale attraverso la 2-sfera dipende soltanto dalla massa al suo interno pertanto la galassia è sottoposta alla forza gravitazionale di Newton:

${\displaystyle F_{1}=G{\dfrac {Mm}{R^{2}(t)}}}$ 

con m massa della galassia, M massa complessiva dell'universo, G costante gravitazionale, r raggio di curvatura dell'universo (considerato che la galassia è al bordo della 2-sfera). Poiché l'universo è in espansione accellerata per quento visto allora la galassia sarà sottoposta alla forza

${\displaystyle F_{2}=R^{''}(t)m}$ 

Nell'ipotesi che valgano le leggi di Keplero per cui la galassia si muove di moto circolare uniforme attorno alla massa M dell'universo (trascurando l'eccentricità dell'orbita) allora la risultante delle forze agenti sulla galassia deve essere uguale a 0, infatti siccome il moto della galassia è circolare uniforme allora non ci può essere nessuna forza come vettore tangente alla traiettoria circolare . Pertanto deve essere :

${\displaystyle G{\dfrac {Mm}{R^{2}(t)}}+R^{''}(t)m=0}$ 

che si può scrivere nella forma :

${\displaystyle (R')'=\left(GM{\dfrac {1}{R}}\right)^{'}}$ 

e quindi :

${\displaystyle R'={\dfrac {GM+RA}{R}}}$ 

con A costante arbitraria.

Si tratta di una equazione differenziale a variabili separabili per cui si ha :

${\displaystyle \int {\dfrac {R}{GM+RA}}dR=dt}$ 

Risolvendo il semplice integrale di una funzione razionale fratta si ha :

${\displaystyle {\dfrac {R}{A}}-{\dfrac {GM}{A^{2}}}\log |RA+GM|-(t-B)=0}$ 

con B costante arbitraria.

Sviluppando in serie di Taylor il logaritmo si ottiene :

${\displaystyle {\dfrac {1}{2AGM}}R^{2}+{\dfrac {A-1}{A^{2}}}R-(t-B)=0}$ 

Trascurando la soluzione negativa si ottiene il raggio di curvatura dell'universo :

${\displaystyle R(t)=AGM\left[-\left({\dfrac {A-1}{A^{2}}}\right)+{\sqrt {\left({\dfrac {A-1}{A^{2}}}\right)^{2}+{\dfrac {2}{AGM}}(t-B)}}\right]}$ 

In particolare si nota :

${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }R(t)=+\infty }$ 

quindi il raggio diverge a ${\displaystyle +\infty }$ .

${\displaystyle R^{'}(t)=\left[\left({\dfrac {A-1}{A^{2}}}\right)^{2}+{\dfrac {2}{AGM}}(t-B)\right]^{-{\frac {1}{2}}}>0}$ 

quindi il raggio cresce sempre al crescere del tempo.

${\displaystyle R^{''}(t)=-{\frac {1}{2}}\left[\left({\dfrac {A-1}{A^{2}}}\right)^{2}+{\dfrac {2}{AGM}}(t-B)\right]^{-{\frac {3}{2}}}<0}$ 

quindi la funzione R(t) è concava .

Si nota inoltre che incontra l'asse delle ascisse in un tempo ${\displaystyle t_{*}=B}$  in cui il raggio è nullo . In particolare  :

${\displaystyle R(0)=0\quad implica\quad t_{*}=B=0}$ 

Ma il fatto che è esistito un tempo in cui il raggio era nullo, essendo la densità dell'universo data dal rapporto tra massa e volume dell'universo,nell'ipotesi di una 2-sfera si ha:

${\displaystyle d={\dfrac {M}{V}}={\dfrac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}}$ 

Pertanto :

${\displaystyle \lim _{R\to 0}d=+\infty }$ 

Ma una densità infinita non può esistere . Ciò comporta l'esistenza di una singolarità cosmologica in cui il raggio dell'universo era nullo. Sotto ipotesi molto più generali , utilizzando la relatività generale i fisici Hawking e Penrose hanno dimostrato che la singolarità R=0 esiste . Per lunghezze inferiori alla lunghezza di Planck bisogna tenere conto della meccanica quantistica, ma tuttora non esiste una teoria della gravità quantistica.

1. ^ S. Perlmutter, Measurements of Omega and Lambda from 42 high redshift supernovae, in Astrophysical Journal, vol. 517, n. 2, 1999, pp. 565–86, DOI:10.1086/307221, arXiv:astro-ph/9812133.
2. ^ A. G. Riess, Observational evidence from supernovae for an accelerating Universe and a cosmological constant, in Astronomical Journal, vol. 116, n. 3, 1998, pp. 1009–38, DOI:10.1086/300499, arXiv:astro-ph/9805201.