Modulo

In analisi, il modulo è una specializzazione di uno spazio vettoriale. In uno spazio vettoriale un insieme di scalari formano uno campo mentre in un modulo l'insieme degli scalari formano un anello. Buona parte della teoria dei moduli cerca di trasportare alcune proprietà delgli spazi vettoriali negli anelli generati dai moduli. Da notare che non tutti i moduli sono dotati di una base.

Definizione

Specificamente il modulo su un anello R consiste in un gruppo abeliano (M, +) e un operatatore R × M -> M (moltiplicazione scalare, rx per r contenuta in R e x contenuto in M) tale che:

Per ogni r,s in R, x,y in M, si abbia

1. (rs)x = r(sx)
2. (r+s)x = rx+sx
3. r(x+y) = rx+ry
4. 1x = x

Usualmente si scrive semplicemente R modulo M o _RM.

Esempio in tre dimensioni

Dato un vettore v di componenti v_x, v_y e v_z, il modulo di v ne rappresenta la misura della lunghezza ed è definito come

${\displaystyle v=\left\|{\vec {v}}\right\|={\sqrt {{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}+{{v}_{z}}^{2}}}}$