Modulo libero
In matematica, un modulo libero è un modulo particolarmente simile ad uno spazio vettoriale; più precisamente, se A è un anello, un A-modulo è libero se ha una base, ovvero un insieme di elementi linearmente indipendenti che lo genera.
Nel linguaggio della teoria delle categorie, i moduli liberi sono gli oggetti liberi della categoria degli A-moduli.
Definizione e basi
Sia A un anello e M un modulo su A. M è libero se esiste un insieme E di elementi di M tali che:
- E genera M: ogni elemento di M può essere scritto come combinazione lineare (finita) di elementi di E, ovvero per ogni m in M esistono ed tali che ;
- E è linearmente indipendente: se esistono ed tali che allora tutti gli sono uguali a 0.
Mentre ogni modulo possiede un insieme di generatori (ad esempio di può prendere E=M stesso), l'indipendenza lineare è una proprietà molto più stringente: esistono ad esempio moduli in cui nessun insieme non vuoto è linearmente indipendente, come lo -modulo delle classi di resto modulo n.
Se A è un campo, gli A-moduli sono gli spazi vettoriali, e ognuno di essi ha una base: di conseguenza tutti gli A-moduli sono liberi. Vale anche il viceversa: se tutti gli A-moduli sono liberi, ed A è commutativo, allora A è un campo; lasciando cadere l'ipotesi di commutatività, A deve essere un corpo.
Nei moduli liberi, gli elementi della base si comportano come coordinate: segue infatti dall'indipendenza lineare che l'espressione di ogni elemento m come combinazione degli elementi della base è unica. Di conseguenza, un modulo libero è la somma diretta di copie di A.
Un particolare modulo libero è l'anello A stesso.
Se M è libero, non ha un'unica base; in generale, neppure la cardinalità della base è univocamente determinata. Questa quantità è invariante però per tutti gli anelli commutativi[1] e per tutti gli anelli noetheriani;[2] in particolare si ottiene che la dimensione degli spazi vettoriali è ben definita. Essa viene detta rango del modulo libero. Anche nei casi in cui il rango non è ben definito, se M ha una base finita anche ogni altra base è finita.[1]
Costruzione
A partire da un insieme arbitrario E, è possibile costruire un A-modulo libero che ha E come base: considerando tutte le combinazioni lineari formali , per qualsiasi sottoinsieme finito e qualsiasi ; l'addizione e la moltiplicazione scalare vengono poi definiti termine a termine.
A partire da questo si può dimostrare che ogni modulo è quoziente di un modulo libero: dato infatti un insieme di generatori E per M (ad esempio E=M stesso), si può formare il modulo libero su E, e considerare il sottomodulo N generato dalle relazioni tra elementi di M (ad esempio, se e+f=0, allora e+f sarà contenuto in N). Il quoziente L/N risulta isomorfo ad M.
Proprietà
Somme e prodotti di moduli liberi sono ancora liberi; lo stesso vale per il prodotto tensoriale di due moduli liberi.
Tutti i moduli liberi sono proiettivi e piatti; unito al fatto che ogni modulo è quoziente di un modulo libero, questo dimostra che ogni modulo ha una risoluzione proiettiva. Al contrario, è raro che i moduli libero siano iniettivi: ad esempio, se A è commutativo e locale, A stesso (considerato come A-modulo) può essere iniettivo solo se la sua dimensione è 0.[3]
Note
- ^ a b (EN) Modulo libero, in PlanetMath.
- ^ (EN) Paul Moritz Cohn, Introduction to ring theory, Springer, 2000, pp.169-171, ISBN 1-85233-206-9.
- ^ (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, p. 107, ISBN 0-521-43500-5.
Bibliografia
- (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
Collegamenti esterni
- (EN) V.E. Govorov, Free module, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.