Teorema di Wiener-Chinčin

Il teorema di Wiener–Khinchin (anche noto come teorema di Wiener–Khintchine e talvolta come teorema di Wiener–Khinchin–Einstein) afferma che la densità spettrale di energia di un segnale corrisponde alla trasformata di Fourier dell'autocorrelazione del segnale stesso.

In formule, si esprime:

${\displaystyle R_{X}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S_{X}(f)e^{+j2\pi f\tau }\ df={\mathcal {F}}^{-1}\{S_{X}(f)\}}$

Per segnali di energia, quindi, la densità spettrale di energia si può definire come la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione del segnale, che si dimostra essere uguale al modulo dell'ampiezza della trasformata di Fourier del segnale, elevata al quadrato. Per segnali di potenza, invece, si definisce densità spettrale di potenza la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione del segnale.

Wiener–Khinchin per i segnali deterministici di Energia

La trasformata di Fourier dell'autocorrelazione di un segnale deterministico di energia è la Densità Spettrale di Energia (ESD)

Dimostrazione del Teorema

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{R_{X}(\tau )\}={\mathcal {F}}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }y(t)y^{*}(t-\tau )\ dt\right\}}$ 

per la proprietà della convoluzione si ha che

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{y(\tau )*y^{*}(-\tau )\}=Y(f)Y^{*}(f)=|Y(f)|^{2}={\mathcal {E}}(f)}$ 

Wiener–Khinchin per i segnali deterministici di Potenza

La trasformata di Fourier dell'autocorrelazione di un segnale deterministico di potenza è la Densità Spettrale di Potenza (PSD)

Dimostrazione del Teorema

Wiener–Khinchin per i segnali aleatori di Energia

La trasformata di Fourier dell'autocorrelazione di un segnale aleatorio di energia è la Densità Spettrale di Energia (ESD)

Dimostrazione del Teorema

Wiener–Khinchin per i segnali aleatori di Potenza

La trasformata di Fourier dell'autocorrelazione di un segnale aleatorio di potenza è la Densità Spettrale di Potenza (PSD)

Dimostrazione del Teorema

Collegamenti esterni

• Weisstein, Eric W. "Wiener-Khinchin Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

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