Congettura di Scholz

In matematica, la Congettura di Scholz (chiamata anche Congettura di Scholz-Brauer o anche Congettura di Brauer-Scholz) è una congettura formulata nel 1937 che dice:

${\displaystyle l(2^{n}-1)\leq n-1+l(n),}$

dove l(n) è la lunghezza della più breve catena di somme (addition chain) che genera n. La congettura è stata verificata per moltissimi casi ma, in generale, rimane un problema aperto.

Per esempio, la condizione è verificata nel caso n = 5, infatti l(5)=3 (la catena più corta che genera 5 è 1+1=2, 2+2=4, 4+1=5) e l(31)=7 (la catena più corta è 1+1=2, 2+1=3, 3+3=6, 6+6=12, 12+12=24, 24+6=30, 30+1=31) e si ha

${\displaystyle l(2^{5}-1)=5-1+l(5).}$

Semplici ragionamenti sulla natura delle catene di somme e la rappresentazione binaria di un numero consentono di mostrare la disuguaglianza più debole:

${\displaystyle l(2^{n}-1)\leq 2n-2.}$

Collegamenti esterni

• Achim Flammenkamp, Shortest Addition Chains
• Sequenza A003313 della OEIS-On-Line Encyclopedia of Integer Sequences che indica la lunghezza delle più brevi catene di somme

Bibliografia

• Scholz, A., "Jahresbericht" Deutsche Math. Vereingung 1937 pp. 41-42
• Brauer, A. T., "On addition chains" Bull. Amer. Math. Soc. 1939 pp. 637-739

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