Circuito RC

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Un circuito RC è un circuito elettronico basato su una resistenza e un condensatore.

A seconda di come sono disposti i due componenti il circuito RC può filtrare le frequenze basse (filtro passa-basso) oppure quelle alte (filtro passa-alto), realizzando un filtro di primo ordine.

Per le sue caratteristiche questo circuito è basilare per funzioni quali la pulizia di un segnale e nei sintetizzatori.

Sfruttando il principio di carica e scarica del condensatore, questa configurazione trova utilizzo anche come oscillatore. In particolare, soprattutto nella didattica, è utilizzato per la generazione di segnali di clock (vedere abbinamento con Trigger di Schmitt per creare segnali di tipo logici).
Tuttavia, vista la variabilità dei comportamenti del condensatore in funzione delle condizioni ambientali, questa configurazione è utilizzata nelle applicazioni in cui la temporizzazione non necessita grande precisione.

Analisi attraverso le equazioni differenziali

Ipotizziamo che il generatore di tensione è costante.

L'equazione alla maglia del circuito è:

${\displaystyle V_{e}-V_{r}-V_{c}=0}$ 

Preso come Ve la tensione del generatore, Vr la tensione sulla resistenza e Vc la tensione sul condensatore. Dalla legge di Ohm possiamo ancora dire che:

${\displaystyle V_{r}=R\cdot i(t)}$ 

Ma la corrente che scorre nella resistenza è anche quella che percorre il condesatore quindi:

${\displaystyle i_{c}(t)=C\cdot {\delta \over {\delta t}}V_{c}}$ 

Riscrivendo l'equazione di partenza:

${\displaystyle V_{e}-RC\cdot {\delta \over {\delta t}}V_{c}-V_{c}=0\rightarrow RC\cdot {\delta \over {\delta t}}V_{c}+V_{c}=V_{e}}$ 

Questa è una equazione differenziale a coefficienti costanti quindi possiamo scrivere la sua equazione omogena associata e ricavarne l'integrale generale:

${\displaystyle RC\cdot {\delta \over {\delta t}}V_{c}+V_{c}=0\rightarrow V_{0}=Ke^{-t \over {RC}}}$ 

L'integrale particolare è molto facile in quanto il termine noto è una costante (generatore di tensione costante):

${\displaystyle V_{p}=V_{e}\rightarrow V_{c}(t)=Ke^{-t \over {RC}}+V_{e}}$ 

Prendendo come condizione iniziale la tensione sul condensatore sia nulla otteniamo la formula:

${\displaystyle V_{c}(t)=V_{e}(1-e^{-t \over {RC}})}$ 

In una condizione generale indichiamo con: ${\displaystyle V_{c}(0)}$  la tensione inizialmente nel condesatore:

${\displaystyle V_{c}(t)=[V_{c}(0)-V_{e}]e^{-t \over {RC}}+V_{e}}$ 

Solitamente questa funzione viene anche scritta come:

${\displaystyle V_{c}(t)=[V_{c}(-\infty )-V_{c}(+\infty )]e^{-t \over {RC}}+V_{c}(+\infty )}$ 

Analisi attraverso la trasformata di Laplace

Applichiando la trasformata di Laplace pensando che il condensatore sia inizialmente scarico:

${\displaystyle {R\rightarrow R}}$  e ${\displaystyle {C\rightarrow {1 \over sC}}}$ 

Adesso il circuito si risolve come un normale partitore di tensione, per ricavare la tensione sul condensatore:

${\displaystyle V_{c}(s)={{1 \over sC} \over {R+{1 \over sC}}}V_{in}(s)\rightarrow V_{c}(s)={1 \over {1+sRC}}V_{in}(s)={{1 \over RC} \over {s+{1 \over RC}}}V_{in}(s)}$ 

Per ricavare la funzione di trasferimento ${\displaystyle H(s)=V_{carico}/V_{ingresso}}$  basta dividere l'equazione per la ${\displaystyle V_{in}(s)}$ :

${\displaystyle H(s)={V_{c}(s) \over V_{in}(s)}={{1 \over RC} \over {s+{1 \over RC}}}}$ 

Questa è la funzione di trasferimento di un filtro passa basso del primo ordine con pulsazione di taglio:

${\displaystyle \omega _{0}={1 \over RC}\rightarrow f_{0}={1 \over 2\pi RC}}$ 

Con i valori del circuito in figura si ottiene una frequenza di taglio del sistema RC a ${\displaystyle f_{0}=159.1[KHz]}$ 

Per la risposta nel dominio del tempo bisogna anti-trasformare la funzione ${\displaystyle V_{c}(s)}$ . Se consideriamo il segnale di ingresso a gradino (Funzione gradino di Heaviside) di ampiezza V_{in}:

${\displaystyle V_{in}(s)={V_{in} \over s}\rightarrow }$ 

Possiamo riscrivere l'equazione ${\displaystyle V_{c}(s)}$ :

${\displaystyle V_{c}(s)={{1 \over {RC}} \over {({1 \over RC}+s)}}{V_{in} \over s}}$ 

Applicando il principio di identità dei polinomi otteniamo:

${\displaystyle V_{c}(s)={{1 \over {RC}} \over {({1 \over RC}+s)}}{V_{in} \over s}={V_{in} \over s}-{V_{in} \over {s+{1 \over {RC}}}}}$ 

Questa funzione è molto facile da anti-trasformare:

${\displaystyle V_{c}(t)=V_{in}(1-e^{-t \over {RC}})}$