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L' operatore densità, o matrice densità, è utilizzato in Meccanica quantistica per descrivere lo stato statistico di un sistema quantistico. Il formalismo venne introdotto da John von Neumann (altre fonti sostengono che venne introdotto indipendentemente anche da Lev Landau e Felix Bloch ) nel 1927. E' l'analogo quantistico della distribuzione di probabilità nello spazio delle fasi in meccanica classica. La necessità di una descrizione statistica emerge perchè non è possibile descrivere un sistema quantistico che sia sottoposto ad una generica operazione quantistica, come ad esempio una misura, usando esclusivamente stati rappresentati da vettori ket. Un sistema in generale è detto essere in uno stato misto, eccetto nel caso lo stato non sia riducibile ad una combinazione convessa di altri stati. In questo caso lo stato è detto stato puro.

Situazioni tipiche in cui un operatore densità è richiesto includono: uno stato quantistico in equilibrio termico ( a temperature finite) e nel caso di entanglement tra due sistemi, in tal caso ogni sistema è in uno stato misto anche se lo stato del sistema complessivo può essere puro. Si veda meccanica statistica quantistica.

Formalismo

L'operatore densità, comunemente chiamato ρ, è un operatore sullo Spazio di Hilbert del sistema in questione. Nel caso speciale di uno stato puro è dato dall'operatore di proiezione dello stato. Per uno stato misto , dove il sistema è nello stato ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$  con probabilità p_j, l'operatore densità è la somma dei proiettori, pesata con le appropriate probabilità:

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$ 

The density matrix (commonly designated by ρ) is an operator acting on the Hilbert space of the system in question. For the special case of a pure state, it is given by the projection operator of this state. For a mixed state, where the system is in the quantum-mechanical state ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$  with probability p_j, the density matrix is the sum of the projectors, weighted with the appropriate probabilities (see bra-ket notation):

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$ 

The density matrix is used to calculate the expectation value of any operator A of the system, averaged over the different states ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$ . This is done by taking the trace of the product of ρ and A:

${\displaystyle \operatorname {tr} [\rho A]=\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle }$ 

The probabilities p_j are nonnegative and normalized (i.e. their sum gives one). For the density matrix, this means that ρ is a positive semidefinite hermitian operator (its eigenvalues are nonnegative) and the trace of ρ (the sum of its eigenvalues) is equal to one.

C*-algebraic formulation of density states

It is now generally accepted that the description of quantum mechanics in which all self-adjoint operators represent observables is untenable. For this reason, observables are identified to elements of an abstract C*-algebra A (that is one without a distinguished representation as an algebra of operators) and states are positive linear functionals on A. In this formalism, pure states are extreme points of the set of states. Note that using the GNS construction, we can recover Hilbert spaces which realize A as an algebra of operators.