Logicismo
Per Logicismo si intende il tentativo di ridurre la matematica ai concetti ed alle regole della logica. Secondo le posizioni logiciste per lo sviluppo dell'aritmetica (e conseguentemente, della matematica stessa) non sarebbero necessari altri concetti che quelli della logica, essendo la matematica fondamentalmente un'applicazione specifica delle leggi universali della logica. Ogni concetto, teorema e legge della matematica può essere quindi dedotto e dimostrato partendo dagli assiomi fondamentali della logica.
Questo pensiero si trova già in Gottfried Leibniz che cercava una mathesis universalis, una scienza universale, da cui potessero essere dedotte tutte le altre scienze come istanze specifiche. Comunemente il Logicismo viene associato soprattutto con Gottlob Frege, Bertrand Russell e Alfred North Whitehead.
Contesto storico
Agli inizi del XX secolo molti logici e matematici erano interessati a dare un nuovo fondamento alle discipline matematiche. A parte Frege, anche Richard Dedekind e Giuseppe Peano volevano ricondurre i concetti fondamentali della matematica, specialmente il concetto di numero naturale, a definizioni formali in termini strettamente logici. Molti matematici famosi, quali Karl Weierstrass, Richard Kronecker e Hermann von Helmholtz si erano pronunciati sul concetto di numero alla fine del XIX secolo, spesso in senso più filosofico o perfino psicologico, tentando di ricondurre il concetto di numero a concetti di altri campi, come il tempo o lo spazio, o cercando le sue origini nel processo di enumerazione. I due grandi schieramenti sono quello dello Psicologismo e quello del Formalismo. Il primo tenta di ridurre le leggi della matematica e della logica ai processi mentali, cercando di definire il concetto di numero in base a come sorge naturalmente nel pensiero. Il secondo pone assiomi che definiscono gli elementi base di un sistema e deducono i teoremi da essi secondo le leggi della logica, ottenendo però un sistema "nominalista", la cui applicazione alle scienze può essere messa in dubbio. Il Logicismo, il quale sostiene che la matematica non ha un proprio dominio, ma tratta puramente di relazioni di idee e che queste relazioni sono analitiche, rientra in questa seconda categoria.
Il tentativo di Frege
Nella formulazione del logico e matematico Gottlob Frege il programma logicista si prefiggeva due obiettivi:
- risolvere i concetti matematici, anche quelli considerati non ulteriormente definibili e perciò primitivi, in termini puramente logici;
- dimostrare i teoremi della matematica mediante l'applicazione dei principi e delle regole di inferenza del ragionamento logico.
Frege incontrò un certo successo nello sviluppo di un linguaggio simbolico capace di formalizzare i ragionamenti: tale linguaggio "ideografico", che si rifaceva ai primi approcci alla formalizzazione intrapresi da George Boole e faceva uso di strumenti concettuali simili a quelli della teoria intuitiva degli insiemi di Georg Cantor fu esposto da Frege nel suo libro Ideografia.
Mentre stava scrivendo il secondo volume dei Principi dell'aritmetica, il libro in cui procedeva alla vera e propria riduzione alla logica dei concetti basilari dell'aritmetica stessa, Frege ricevette una lettera in cui Bertrand Russell, uno dei pochi a dimostrare interesse per il programma dell'oscuro pensatore tedesco all'inizio del Novecento, gli comunicava un'antinomia fondamentale che vanificava la sua intera opera, dimostrando la contraddittorietà di uno degli assiomi su cui si era basato. L'antinomia è oggi nota con il nome di paradosso di Russell. Frege non si sarebbe più ripreso dal colpo infertogli da Russell e per il resto della sua vita si sarebbe tenuto lontano dal problema dei fondamenti della matematica. La conseguenza del paradosso di Russell è che la teoria degli insiemi sviluppata da Georg Cantor e utilizzata da Frege può essere dimostrata internamente contradittoria tramite la definizione di un insieme molto particolare: l'insieme che contiene tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elementi ("The set of all sets that do not contain themselves as members"). La definizione di questo insieme porta al paradosso che questo insieme contiene e non contiene se stesso, dimostrando che la definizione di insieme di Frege non poteva essere usata come fondamento certo della definizione del concetto di numero e quindi della matematica.
Il tentativo di Russell
In continuità con il Logicismo di Frege, Russell si sarebbe cimentato assieme al collega Alfred North Whitehead nel tentativo di superare la sua stessa antinomia, dando alla luce i tre ponderosi volumi dei Principia Mathematica, pubblicati tra il 1910 e il 1913. Quest'opera rappresentò il più grandioso tentativo di realizzare il sogno fregeano di una fondazione logica della matematica, anzi lo spirito russelliano si dimostrò ancora più radicale di quello del suo predecessore nella misura in cui arrivò a coinvolgere la geometria, precedentemente esclusa da Frege.
La riduzione logicista (che venne chiamata teoria dei tipi) fu raggiunta da Russell a costo di alcune forzature, che negli anni a seguire provocarono il progressivo disfacimento del sistema eretto nei Principia. Punti deboli della sistemazione russelliana si rivelarono:
- il predicativismo della logica declinata da Russell nella teoria dei tipi a fronte del non predicativismo della matematica;
- l'assioma dell'infinito, per cui esistono infiniti individui distinti;
- l'assioma della scelta o moltiplicativo.
Il fallimento del progetto logicista
Nonostante gli sforzi di Frank Plumpton Ramsey, il programma logicista si inaridì e venne soppiantato da altri approcci al problema dei fondamenti della matematica, quali il Formalismo di Hilbert o l'Intuizionismo di Poincaré e Brouwer. Il Neologicismo, proposto tra gli altri da Crispin Wright, tenta di rianimare il programma logicista.
Il Logicismo si avviò ad essere superato quando gli intuizionisti cominciarono a sostenere l'impossibilità di fondare la matematica sulla logica: secondo loro, il tentativo di ridurre la matematica alla logica fallisce perché la logica da sola non è sufficiente. Il Logicismo adopera anche concetti dalla teoria degli insiemi, la quale è ontologicamente più ricca della mera logica. Non esiste comunque una necessità a priori che garantisca l'esistenza dei vari livelli di insiemi e insiemi di insiemi presupposti da Cantor, Frege e Russell.
Comunque, l'impossibilità di derivare la matematica dalla logica fu dimostrata definitivamente da Kurt Gödel nel 1931 per mezzo di due teoremi di incompletezza: ogni sistema sufficientemente complesso da fondare l'aritmetica è ipso facto o incompleto o incoerente, e inoltre non è in grado di dimostrare la sua stessa validità.
Bibliografia
Opere storiche
- Georg Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen., Lipsia, B. G. Teubner.
- Richard Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1872.
- Richard Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig, 1888.
- Gottlob Frege, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle a. S., 1879.
- Gottlob Frege, Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau, 1884.
- Gottlob Frege, Grundgesetze der Arithmetik, Jena, Hermann Pohle, Band I (1893), Band II (1903).
- Hermann von Helmholtz, «Zählen und Messen», Philosophische Aufsätze, Eduard Zeller gewidmet, 1887.
- David Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 1899.
- Giuseppe Peano, Arithmetices principia, nova methodo exposita, Torino, Bocca, 1889.
- Bertrand Russell The Principles of Mathematics, Cambridge, University Press, 1903.
- Bertrand Russell e Alfred North Whitehead, Principia Mathematica, Cambridge, University Press, 3 voll., 1910, 1912, 1913.
- Philosophy of Mathematics - selected readings, Cambridge, University Press, Benacerraf & Putnam, 19832.
Testi contemporanei
- F. Cioffi, F. Gallo, G. Luppi, A. Vigorelli, E. Zanette, Diálogos, Edizioni Scolastiche Bruno Mondadori, 2000, vol. 3, ISBN 88-424-5264-5.
- Clementina Ferrandi, Filosofia e scienza – Un intreccio fecondo, Torino, Il Capitello, 1991.
- W. Maraschini, M. Palma, ForMat, Spe, Paravia, 2002, vol. 3, ISBN 88-395-1435-X.
- P. Odifreddi, Il diavolo in cattedra, Einaudi, 2003, ISBN 88-06-18137-8.
