Lemma di Hensel

In matematica, lemma di Hensel è il nome dato ad alcuni teoremi, equivalenti tra loro, dell'algebra commutativa e della teoria analitica dei numeri, che legano i polinomi a coefficienti in un campo locale o in un anello completo ai polinomi a coefficienti nel suo campo residuo. Le dimostrazioni del teorema fanno uso di un argomento di approssimazione che rendono il lemma di Hensel un analogo algebrico del metodo di Newton per il calcolo numerico di radici di polinomi a coefficienti reali.

Prende nome da Kurt Hensel, che lo scoprì e lo dimostrò nel corso dei suoi studi sui numeri p-adici.

Enunciato

Introduzione sulle varie forme?

Sia $A$ un anello commutativo locale, con ideale massimale $M$ , che sia completo rispetto alla topologia $M$ -adica, e sia $K=A/M$ il suo campo residuo; sia $f(X)$ un polinomio monico a coefficienti in $A$ e ${\overline {f}}(X)$ la sua riduzione modulo $M$ . Un caso particolare si ha quando $A$ è un anello di valutazione discreta il cui campo dei quozienti è un campo locale non archimedeo.

A seconda degli autori, "lemma di Hensel" può riferirsi ad uno dei seguenti risultati: ( $f'$ indica la derivata formale di $f$ )^[dove?]

se ${\overline {f}}(X)={\overline {g}}(X){\overline {h}}(X)$ , dove ${\overline {g}}(X)$ e ${\overline {h}}(X)$ sono polinomi coprimi in $K[X]$ , allora esistono polinomi $g(X),h(X)\in A[X]$ tali che $g(X)\equiv {\overline {g}}(X){\bmod {M}}$ , $h(X)\equiv {\overline {h}}(X){\bmod {M}}$ e tali che $f(X)=g(X)h(X)$ ;
dato un elemento $a\in A$ , se $f(a)\equiv 0{\bmod {(}}f'(a))^{2}M$ allora esiste un elemento $b\in A$ tale che $f(b)=0$ e $b\equiv a{\bmod {f}}'(a)M$ ;
se un elemento $a\in A$ è una radice semplice di ${\overline {f}}$ in $K$ (ovvero ${\overline {f}}'(a)\neq 0$ ), allora esiste un elemento $b\in A$ tale che $f(b)=0$ e $b\equiv a{\bmod {M}}$ .

Le tre forme del lemma sono equivalenti nel senso che, se una delle tre vale in un arbitrario anello locale, allora valgono anche le altre due.^{[vero anche per completi generici o solo per DVR?]} Un anello in cui questo succede è detto henseliano. Per ogni anello locale $A$ , esiste un anello $A^{h}$ (chiamato henselianizzazione di $A$ ) che è il più piccolo anello contenente $A$ ed henseliano rispetto alla topologia $M$ -adica; in particolare, $A^{h}$ è sempre contenuto nel completamento di $A$ . L'henselianizzazione di un anello ne conserva alcune proprietà, tra cui l'essere noetheriano, ridotto, o regolare.^[ref]

Una quarta forma del lemma di Hensel può essere trovata nei testi di aritmetica modulare: essa afferma che, se $f$ è un polinomio a coefficienti in $\mathbb {Z}$ che ammette una radice semplice $a$ modulo $p^{n}$ (cioè se $f(a)\equiv 0\mod p^{n}$ e Errore del parser (funzione sconosciuta '\nequiv'): {\displaystyle f'(a)\nequiv 0\mod p^n} ) allora esiste un unico $b$ modulo $p^{n+1}$ tale che $f(b)\equiv 0\mod p^{n+1}$ e $b\equiv a\mod p^{n}$ .