Successione di Cauchy

In matematica, una successione di Cauchy o successione fondamentale è una successione tale per cui, data una distanza definita positiva, vi sono infiniti elementi la cui distanza reciproca è inferiore a una distanza data arbitrariamente piccola. Ogni successione convergente è di Cauchy, e tale nome è dovuto al matematico Augustin Louis Cauchy.

Definizione

Si definisce successione di Cauchy una successione ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$  a valori in uno spazio metrico ${\displaystyle (X,d)}$  tale che:^[1]

${\displaystyle \forall \,\varepsilon >0\;\exists \,N(\varepsilon )=N:\forall \,m,n\geq N\quad d(x_{n},x_{m})<\varepsilon }$ 

La definizione indica che, al tendere dell'indice all'infinito, la distanza nello spazio ${\displaystyle X}$  tra i due elementi della successione tende a annullarsi.

Ogni successione convergente in X è di Cauchy, come si dimostra considerando una successione convergente ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\to x}$ . Esiste allora un indice N tale per cui:

${\displaystyle d(x_{n},x)<{\frac {\varepsilon }{2}}\quad \forall n>N}$ 

Considerando allora n e m maggiori di N, si ha di conseguenza:

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }$ 

Non è detto, al contrario, che una successione di Cauchy debba necessariamente convergere né che, se converge, l'elemento al quale converge appartenga allo spazio.

Se tutte le successioni fondamentali dello spazio metrico ${\displaystyle (X,d)}$  hanno un limite in ${\displaystyle X}$ , allora ${\displaystyle (X,d)}$  viene chiamato spazio completo.^[2]

Ogni successione di Cauchy è limitata, e ogni sottosuccessione di una successione di Cauchy che tende a un limite L tende a L.

Alcuni teoremi sulle successioni di Cauchy

Prima di enunciare e dimostrare i teoremi, è bene introdurre la definizione di diametro di un insieme.

Si dice diametro di un certo insieme ${\displaystyle E}$  in uno spazio metrico ${\displaystyle (X,d)}$  l'estremo superiore

${\displaystyle \sup _{p,q\in E}\,d(p,q)\ }$ 

e si indica con

${\displaystyle {\mbox{diam }}E\ }$ 

in analogia con il diametro del cerchio: comunque presi due punti appartenenti a un cerchio la loro distanza è sempre minore, al più uguale al diametro del cerchio stesso.

Teorema della limitatezza delle successioni di Cauchy

Sia ${\displaystyle \{x_{n}\}}$  una successione di Cauchy in ${\displaystyle (X,d)}$ . Allora ${\displaystyle \{x_{n}\}}$  è limitata in ${\displaystyle X}$ .

Infatti, per definizione di successione di Cauchy,

${\displaystyle \forall \,\varepsilon >0\;\exists \,N(\varepsilon )=N:\forall \,m,n\geq N\quad d(x_{n},x_{m})<\varepsilon }$ 

dunque a maggior ragione

${\displaystyle \exists \,\varepsilon =1:\exists N_{*}:\forall \,m,n\geq N_{*}\quad d(x_{n},x_{m})<1\,,}$ 

da cui

${\displaystyle \forall \,n\quad d(x_{n},x_{N_{*}})<1\,.}$ 

In più

${\displaystyle \exists \,r>0:r=\max\{d(p_{1},p_{2}),d(p_{1},p_{3}),...,d(p_{1},p_{N}),d(p_{2},p_{3}),...,d(p_{2},p_{N}),...,d(p_{N-1},p_{N})\}\,.}$ 

Dunque

${\displaystyle \forall \,m,n\;d(p_{n},p_{m})<1+r}$ 

e la successione è limitata.

Teorema dell'implicazione dalla convergenza

Sia ${\displaystyle \{p_{n}\}}$  convergente. Allora ${\displaystyle \{p_{n}\}}$  è una successione di Cauchy.

Infatti, per definizione di convergenza:

${\displaystyle \forall \,\varepsilon >0\;\exists \,N(\varepsilon )=N:\forall \,n\geq N\;\exists \,p:d(p_{n},p)<\varepsilon \,.}$ 

Dunque esiste un indice di successione ${\displaystyle m\geq n}$  per cui, applicando la disuguaglianza triangolare, si ha

${\displaystyle d(p_{n},p_{m})\leq d(p_{m},p)+d(p,p_{n})<2\,\varepsilon \,.}$ 

Per cui il teorema è dimostrato.

Teorema della convergenza in spazi metrici

Sia ${\displaystyle (X,d)}$ , con ${\displaystyle X}$  compatto e ${\displaystyle \{p_{n}\}}$  una successione di Cauchy in ${\displaystyle X}$ . Allora ${\displaystyle \{p_{n}\}}$  converge a qualche punto di ${\displaystyle X}$ .

Infatti, sia, come da enunciato, ${\displaystyle \{p_{n}\}}$  una successione di Cauchy. Per ogni ${\displaystyle N}$  numero naturale, si costruisca ${\displaystyle E_{N}}$  nel seguente modo:

${\displaystyle E_{N}\,:=\,\{p_{N},p_{N+1},p_{N+2},...\}\,.}$ 

${\displaystyle \forall \,N,\,{\overline {E}}_{N}\subset X}$ 

dove ${\displaystyle {\overline {E}}}$  è la chiusura di ${\displaystyle E}$  (unione dell'insieme con i suoi punti di accumulazione): trattandosi di insiemi chiusi in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\!{\mbox{diam }}{\overline {E}}_{N}=0\,.}$ 

Inoltre

${\displaystyle E_{N}\supset E_{N+1}\Rightarrow {\overline {E}}_{N}\supset {\overline {E}}_{N+1}\Rightarrow \exists !\,p:\forall \,N\;p\in X\,.}$ 

A questo punto,

${\displaystyle \forall \,\varepsilon >0\;\exists \,{\tilde {N}}:\forall \,N\geq {\tilde {N}},\;{\mbox{diam}}\,{\overline {E}}_{N}<\varepsilon \quad \Rightarrow \quad \forall \,q\in {\overline {E}}_{N},\;d(p,q)<\varepsilon \quad \Rightarrow \quad \forall \,n\geq {\tilde {N}},\;d(p,p_{n})<\varepsilon }$ 

il che implica ${\displaystyle p_{n}\rightarrow p}$ , ovvero la successione converge.

Teorema della completezza di R^k

Uno spazio metrico si dice completo quando la condizione di Cauchy per le successioni è sufficiente alla convergenza. Il teorema afferma che in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ , ogni successione di Cauchy converge.

Infatti, presa una successione di Cauchy ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{n}\}}$  a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$  sia come per il teorema precedente

${\displaystyle E_{N}:=\{\mathbf {x} _{N}:N=1,2,...\}\,.}$ 

Allora è possibile costruire per qualche ${\displaystyle N}$  un ${\displaystyle E_{n}:n\geq N}$  tale che ${\displaystyle {\mbox{diam}}\,E_{n}<1\,.}$  Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un insieme finito: quello dell'insieme ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{N}\}}$ ; dall'altra c'è ${\displaystyle E_{N}}$ . Per il teorema di Heine-Borel un sottoinsieme limitato in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$  ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del teorema precedente.

Questo dimostra la completezza di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ .

Numeri razionali e numeri reali

Non tutte le successioni di Cauchy convergono: ad esempio, nello spazio dei numeri razionali, la successione

${\displaystyle x_{n}={\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}}$ 

dove ${\displaystyle F_{n}}$  sono i numeri di Fibonacci, è di Cauchy e tende a un numero che verifica ${\displaystyle x^{2}=x+1}$ , ma nessun razionale ha questa proprietà. È necessario quindi costruire un nuovo tipo di numeri; questo è uno dei modi per ottenere l'insieme dei numeri reali a partire dai razionali.

Note

1. ^ Reed, Simon, Pag. 5
2. ^ Reed, Simon, Pag. 6

Bibliografia

• Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
• Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, (1953), McGraw-Hill, Inc. ISBN 88-386-0647-1

Voci correlate

• Convergenza
• Criterio di convergenza di Cauchy
• Distanza (matematica)
• Limite di una successione
• Sottosuccessione
• Spazio completo
• Successione

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