Criterio di Leibniz

In analisi matematica, il criterio di Leibniz (scritto anche Leibnitz) è un criterio di convergenza applicabile a serie a termini di segno alterno. Secondo tale criterio se una successione a termini positivi {a_k} è decrescente e infinitesima, allora la serie

s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{(-1)^{k}a_{k}}

converge.

Prende il nome dal matematico tedesco Gottfried Leibniz.

Enunciato

Sia $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ una successione di numeri reali tale che:

esiste un $N\in \mathbb {N} _{0}$ tale che $a_{N}\geq a_{N+1}\geq a_{N+2}\geq \cdots \geq a_{N+n}>0$ per ogni $n\in \mathbb {N} _{0}$
$\lim _{k\to +\infty }{a_{k}}=0$ .

Allora^[1] è convergente la serie

\sum _{k=0}^{+\infty }{(-1)^{k}a_{k}}

.

Dimostrazione

Poiché {a_n} è decrescente, per ogni n si ha che

s_{2n}\geq s_{2n}-a_{2n+1}+a_{2n+2}=s_{2n+2}

da cui segue che

s_{0}\geq s_{2}\geq s_{4}\geq \cdots \geq s_{2n}\geq \cdots

Similmente

s_{2n+1}\leq s_{2n+1}+a_{2n+2}-a_{2n+3}=s_{2n+3}

e quindi

s_{1}\leq s_{3}\leq s_{5}\leq \cdots \leq s_{2n+1}\leq \cdots

Si hanno quindi due successioni: una decrescente formata dai termini pari delle somme parziali e una crescente formata dai termini dispari delle somme parziali. Inoltre $s_{2n+1}=s_{2n}-a_{2n+1}\leq s_{2n}$ e quindi ogni elemento della seconda successione è minore di ogni elemento della prima. Possiamo porre $D=\lim _{n\to \infty }s_{2n+1}$ e $P=\lim _{n\to \infty }s_{2n}$ . Per ogni n si ha

s_{2n+1}\leq D\leq P\leq s_{2n}

perché se fosse D>P potremmo trovare delle somme parziali di termine pari a una distanza minore di ogni $\varepsilon$ da P e termine dispari distanti da D meno di $\varepsilon$ ; per $\varepsilon$ sufficientemente piccolo si avrebbe allora un termine dispari maggiore di uno pari, cosa che abbiamo già dimostrato essere impossibile.

Inoltre la distanza tra P e D diventa più piccola di ogni a_m; ma tale successione tende a 0, e quindi così fa P-D, ovvero P=D. Poniamo S=P=D. Essendo S il limite delle somme parziali pari, per la definizione di limite per ogni $\varepsilon >0$ esiste m tale che $|S-s_{n}|<\varepsilon$ per ogni n>m (n pari). Allo stesso modo, essendo S il limite delle somme parziali dispari, esiste k tale che la disuguaglianza vale per ogni n dispari maggiore di k. Quindi prendendo $h=\mathrm {max} ~(m,k)$ la disuguaglianza vale per ogni n>h, per ogni n pari e dispari, e si ha quindi

\lim _{n\to \infty }s_{n}=S

e la serie converge.

Osservazioni sulla dimostrazione

Dalla dimostrazione, abbiamo che $|S-s_{n}|\leq a_{n+1}$ ; il che significa che, approssimando la somma della serie con la somma parziale $n$ -esima, l'errore commesso non supera il termine successivo trascurato (preso in modulo). Ad esempio, si consideri la serie:

\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}

;

calcolando la somma dei primi dieci termini, si ottiene

s_{10}=\sum _{k=1}^{10}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\approx -0,6456

,

mentre la somma infinita vale esattamente

S=\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}=-\ln {2}\approx -0,6931

,

e si nota che

|s_{10}-S|\approx |-0,6456+0,6931|=0,0475<0,090909...={\frac {1}{11}}

.

Se l'ipotesi che la successione sia non crescente viene sostituita con quella (più debole) di successione asintoticamente non crescente (cioè $a_{k}\geq 0\ \forall k,\lim _{k\to +\infty }{a_{k}}=0,a_{k}\sim b_{k}$ dove $\{b_{k}\}$ soddisfa le ipotesi del teorema di Leibniz), il teorema non è più valido.