Cicloide

In geometria, la cicloide (dal greco kykloeidés, kýklos 'cerchio' e -oeidés 'forma', cioè che è fatto da un cerchio) è una curva piana appartenente alla categoria delle rullette. Essa è la curva tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta; in pratica il disegno composto da un punto su una ruota di bicicletta in movimento.

Una cicloide (in rosso) è generata da un punto su una circonferenza (in blu) che rotola su di una retta.

La cicloide fu studiata per la prima volta da Nicola Cusano e ricevette il suo nome nel 1599 da Galileo. Si dedicarono allo studio di questa curva anche (tra i più celebri) Torricelli, Fermat, Cartesio, Huygens, Bernoulli e Isaac Newton.

Proprietà geometriche

• L'evoluta e l'involuta della cicloide sono a loro volta due cicloidi identiche.
• È la curva che risolve il problema della tautocrona ovvero le oscillazioni su di un arco di cicloide sono esattamente isocrone (e non solo approssimativamente come in un pendolo semplice).
• Risolve il problema della brachistocrona ovvero la curva su cui una massa che scivola impiega meno tempo per percorrere il tragitto fra due punti dati è un arco di cicloide.

Relazioni con la circonferenza

le dimensioni di una cicloide sono strettamente legate a quella della circonferenza generatrice:

1. L'altezza massima dell'arco è pari al suo diametro
2. La lunghezza di un arco di cicloide è 4 volte il diametro^[1], ovvero l'altezza 4h
3. La base sottostante l'arco è pari alla circonferenza^[2], ovvero πh
4. L'area compresa fra un arco di cicloide e la base è 3 volte l'area del cerchio

Area

L'area sottostante la cicloide è pari a 3 volte l'area del cerchio generatore; tale equivalenza era già sospettata da Galileo, il quale la riscontrò, non riuscendo a misurare per via teorica l'area, per via fisica, pesando materialmente dei pezzi di metallo ritagliati secondo la sagoma della curva e della circonferenza generatrice^[3]. Galileo dedusse, così, per via empirica che il rapporto doveva essere prossimo a 3:1, ma rifiutò la sua prima intuizione forse ritenendo tale rapporto troppo semplice^[4], e anzi si convinse persino dell'erroneità della sua prima impressione dopo un serie di errori accidentali in successivi studi e misurazioni.

L'esattezza della relazione tra le due aree fu invece dimostrata, dopo la sua morte, dall'allievo Torricelli e, quasi contemporaneamente da altri matematici, tra cui Roberval. È possibile offrire la facile dimostrazione data da Torricelli attraverso il metodo degli infinitesimi

Forma matematica

In rappresentazione parametrica la cicloide passante per l'origine generata da un cerchio di raggio r è data da:

${\displaystyle \left\{\,{\begin{matrix}x=r\left(t-\sin t\right)\\y=r\left(1-\cos t\right)\end{matrix}}\right.}$ .

La cicloide è una funzione continua ed è differenziabile ovunque tranne sulle cuspidi. Dove è differenziabile soddisfa l'equazione differenziale

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r-y}{y}}}$ .

È anche possibile scrivere l'equazione parametrica della cicloide non ordinaria, descritta da un punto rigidamente collegato al cerchio ma non necessariamente collocato sulla circonferenza. Se il raggio del cerchio è r e la distanza dal centro del punto considerato è d avremo:

${\displaystyle \left\{\,{\begin{matrix}x=rt-d\sin t\\y=r-d\cos t\end{matrix}}\right.}$ .

Infatti se ${\displaystyle d=r}$  si ottiene l'equazione della cicloide, che ne costituisce un caso particolare. La cicloide con ${\displaystyle d>r}$  (punto esterno al cerchio) è detta allungata, mentre quella con ${\displaystyle d<r}$  (punto interno) è detta accorciata.

L'equazione cartesiana di una cicloide è data da:

${\displaystyle x=-{\sqrt {y(2r-y)}}+r{\text{ArcCos}}\left[1-{\frac {y}{r}}\right]}$ 

Area

L'elemento infinitesimale di area è pari a:

${\displaystyle dA={\frac {1}{2}}\left|x(t){\frac {dy(t)}{dt}}-{\frac {dx(t)}{dt}}y(t)\right|dt={\frac {r^{2}}{2}}\left|(-2+2\cos t+t\sin t)\right|dt}$ 

da cui, l'area sotto un solo arco è:

${\displaystyle A={\frac {r^{2}}{2}}\int _{0}^{2\pi }\left|(-2+2\cos t+t\sin t)\right|dt={\frac {r^{2}}{2}}\left|-2t-t\cos t+3\sin t\right|=r^{2}3\pi }$ 

Baricentro

Il baricentro della figura racchiusa tra il primo arco di cicloide e l'asse delle x, ha ascissa pari a ${\displaystyle x_{G}=\pi r}$ . L'ordinata del baricentro può essere calcolata usando la formula:

${\displaystyle y_{G}={\frac {\int ydxdy}{\int dxdy}}}$ 

che possiamo riscrivere nella forma:

${\displaystyle y_{G}={\frac {{\frac {1}{2}}\int y^{2}dx}{\int ydx}}={\frac {{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }r^{3}(1-\cos t)^{3}dt}{\int _{0}^{2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}dt}}}$ 

L'integrale al denominatore restituisce l'area della figura calcolata al punto precedente. Effettuando i calcoli troviamo ${\displaystyle y_{G}={\frac {5}{6}}r}$ 

Il baricentro della figura sottesa dal primo arco della cicloide ha quindi baricentro in ${\displaystyle (x_{G};y_{G})=(\pi r;{\frac {5}{6}}r)}$ .

Proprietà

La lunghezza della cicloide è pari a:

${\displaystyle l(t)=8r\sin ^{2}\left({\frac {1}{4}}t\right)}$ 

quindi la lunghezza del primo arco è

${\displaystyle l(2\pi )=8r{\frac {}{}}}$ 

La curvatura è:

${\displaystyle K(t)=-{\frac {\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}{4r}}}$ 

Cicloide VS Trocoide

Quando la circonferenza mobile rotola su di una retta si parla sempre di cicloide (ordinaria, allungata o accorciata a seconda che il punto solidale alla circonferenza mobile disti dal centro di detta circonferenza una distanza pari, maggiore o minore del raggio). La cicloide ordinaria ha delle cuspidi, quella allungata ha delle asole, quella accorciata si presenta come una curva ondulata.

Le trocoidi rappresentano una generalizzazione delle epi- e delle ipocicloidi ottenute facendo rotolare una circonferenza mobile all'esterno o all'interno di una circonferenza fissa.

Note

1. ^ Questa proprietà fu dimostrata da Christopher Wren nel 1658, consecutivamente ad una sfida lanciata dal Pascal agli altri matematici dell'epoca
2. ^ Questa semplice e forse banale proprietà fu la prima formalizzata da padre Mersenne
3. ^ Premessa di La cicloide, la bella Elena della matematica
4. ^ Benché allora non fosse ancora nota la trascendenza del π, erano già largamente note le difficoltà circa la sua approssimazione e anche quelle riguardanti la quadratura del cerchio; non devono quindi stupire le perplessità del matematico pisano posto dinanzi a un numero così "tondo"

Voci correlate

• Cicloide sferica
• Epicicloide
• Ipocicloide
• Pendolo cicloidale
• Roulette
• Applicazione della cicloide

Collegamenti esterni

(EN) la cicloide su MathWorld Cicloidi, epicicloidi, ipocicloidi, trocoidi

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