Circuito RL

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Un circuito RL è un circuito elettronico del primo ordine basato su una resistenza e sulla presenza di un elemento dinamico, l'induttore.

Circuito RL in evoluzione libera

 

Circuito RL in evoluzione libera

Si chiama circuito RL in evoluzione libera il circuito mostrato in figura composto da una resistenza e da un induttore percorso da corrente. Evoluzione libera significa che il circuito non ha sorgenti esterne di tensione o di corrente.

Per trattare questo circuito è conveniente usare i teoremi che riguardano le correnti vista la dualità lineare del comportamento dei circuiti tra la tensione e la corrente.

Al tempo ${\displaystyle t_{0}=0}$  la corrante ai capi di L è ${\displaystyle I_{L}(0)\neq 0}$ , questa viene presa come condizione iniziale.

Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti, l'equazione del circuito è:

(1)${\displaystyle \;\;I(t)+I_{L}(t)=0\;\rightarrow {\frac {V(t)}{R}}+I_{L}(t)=0}$ 

dove ${\displaystyle I(t)}$  è la corrente elettrica circolante. La relazione caratteristica dell'induttore è ben nota:

(2)${\displaystyle \;\;V(t)=L\cdot {\frac {dI_{L}(t)}{dt}}}$ 

allora la (1) diventa un'equazione differenziale omogenea del primo ordine:

(3)${\displaystyle \;\;{\frac {L}{R}}\cdot {\frac {dI_{L}(t)}{dt}}+I_{L}(t)=0\;\rightarrow \;{\frac {dI_{L}(t)}{dt}}+{\frac {R}{L}}I_{L}(t)=0}$ 

Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:

(4)${\displaystyle \;\;I_{L}(t)=I_{L}(0)\cdot e^{-tR/L}}$ 

La tensione segue la:

(5)${\displaystyle \;\;V(t)=L\cdot {\frac {dI_{L}(t)}{dt}}=-R\cdot I_{L}(0)\cdot e^{-tR/L}}$ 

Al rapporto ${\displaystyle {\frac {L}{R}}=\tau }$  viene dato il nome di costante di tempo del circuito ed una quantità caratteristica costante del circuito.

Fisicamente la quantità di corrente contenuta nell'induttore tramite la relazione al momento iniziale, nel momento in cui l'interruttore T viene chiuso, viene scaricata entro il circuito: tale corrente elettrica si dissipa completamente nella resistenza R secondo la legge (4): la corrente tende esponenzialmente a zero per ${\displaystyle t\to \infty }$ . Il tempo caratteristico di questa caduta di corrente è proprio determinato dalla costante di tempo: essa è il valore dell'istante per il quale la corrente prende il valore di:

${\displaystyle I(\tau )={\frac {1}{e}}}$ 

Circuito RL con generatore di tensione costante

 

Circuito RL con generatore di corrente costante

Ipotizziamo che il generatore di corrente ${\displaystyle I_{0}}$  costante nel tempo, possiamo scrivere l'equazione di Kirchoff delle tensioni:

(6)${\displaystyle \quad I_{0}=I(t)+I_{L}(t)={\frac {V(t)}{R}}+I_{L}(t)}$ 

dove ${\displaystyle V(t)}$  è la tensione. Sostituendo la relazione caratteristica del condensatore (2), la (6) diventa un'equazione differenziale non omogenea del primo ordine:

(7)${\displaystyle \quad I_{0}={\frac {L}{R}}\cdot {\frac {dI_{L}(t)}{dt}}+I_{L}(t)\;\rightarrow \;{\frac {dI_{L}(t)}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}I_{L}(t)={\frac {I_{0}}{\tau }}}$ 

dove ${\displaystyle \tau ={\frac {L}{R}}}$  è al costante di tempo del circuito. Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:

(8)${\displaystyle \;\;I_{L}(t)=\left(I_{L}(0)-I_{0}\right)\cdot e^{-t/\tau }+I_{0}}$ 

La tensione segue la:

(9)${\displaystyle \;\;V(t)=L\cdot {\frac {dI_{L}(t)}{dt}}=-LR\cdot (I_{L}(0)-I_{0})\cdot e^{-t/\tau }}$ 

Fisicamente la presenza della corrente costante del generatore induce che la corrente ai capi di L ${\displaystyle I_{L}(t)}$  cresca esponenzialmente partendo da ${\displaystyle I_{L}(t=0)=I_{L}(0)}$  fino a tendere al valore della corrente costante del generatore. Dunque per ${\displaystyle t\to \infty }$  si ha che ${\displaystyle I_{L}(t)\to I_{0}}$ . Viceversa la tensione indotta nel circuito è esponenzialmente decrescente da un valore iniziale ${\displaystyle RI_{L}(0)}$  fino a tendere al valore costante ${\displaystyle V_{0}=RI_{0}}$ .

Quando al tendere di ${\displaystyle t\to \infty }$  la corrente ${\displaystyle I_{L}(t)\to I_{0}=cost}$ , il circuito si comporta come un corto circuito. A regime di corrente costante un qualsiasi circuito composto da un numero arbitrario di resistenze e di generatori di corrente costanti e da un induttore può essere quantitativamente studiato utilizzando questa proprietà, cioè supponendo che il circuito in corrispondenza dell'induttore sia in corto circuito.

In particolare la risposta del circuito RL ad una corrente costante è composta di due parti:

${\displaystyle \left(I_{L}(0)-I_{0}\right)e^{-t/\tau }}$  si chiama risposta transitoria o transiente del circuito;

${\displaystyle I_{0}}$  si chiama risposta permanente o a regime del circuito.

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