Forma modulare

In matematica, una forma modulare è una funzione olomorfa sul semipiano complesso superiore che verifica un'equazione funzionale rispetto all'azione di particolari sottogruppi del gruppo modulare e che soddisfa alcune condizioni crescita.

La teoria delle forme modulari è parte dell'analisi complessa ma le sue applicazioni principali sono nell'ambito della teoria dei numeri. Le forme modulari compaiono anche in altre aree, come la topologia algebrica e la teoria delle stringhe.

La teoria delle forme modulari è un caso particolare della più generale teoria delle forme automorfe.

Forme modulari per SL₂(${\displaystyle \mathbb {Z} }$)

Una forma modulare di peso k per il gruppo modulare

${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )=\left\{\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right),a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,ad-bc=1\right\}}$ 

è una funzione f definita sul semipiano complesso superiore ${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} ,{\text{Im}}(z)>0\}}$  a valori nell'insieme dei numeri complessi che soddisfa tre condizioni:

(1) è una funzione olomorfa su ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ;

(2) per ogni z in ${\displaystyle \mathbb {H} }$  e per ogni matrice ${\displaystyle \gamma =\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)}$  in ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )}$  vale

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$ 

(3) è olomorfa alla cuspide, cioè f deve essere olomorfa per ${\displaystyle z\to i\infty }$  (cioè per ${\displaystyle {\text{Im}}(z)\to +\infty }$ ). Il termine cuspide è dovuto agli aspetti geometrici della teoria.

Il peso k è solitamente un numero intero.

La seconda condizione può essere riformulata. Siano

${\displaystyle S=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}$ 

${\displaystyle T=\left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)}$ 

Poiché le matrici T e S generano il gruppo modulare ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )}$ , allora la seconda condizione è equivalente alle due equazioni seguenti:

${\displaystyle f(-1/z)=z^{k}f(z)\,}$ 

${\displaystyle f(z+1)=f(z)\,}$ 

Dall'ultima delle due precedenti equazioni segue che le forme modulari sono funzioni periodiche di periodo 1 e ammettono quindi sviluppo in serie di Fourier. Da questo segue che per k dispari solo la funzione costantemente nulla soddisfa la seconda condizione.

Bibliografia

• (EN) F. Diamond e J. Shurman (2005), A First Course in Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics 228 Springer, New York.

Voci correlate

• Gruppo modulare
• Sviluppo in serie di Fourier

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