Forma modulare

In matematica, una forma modulare è una funzione olomorfa sul semipiano superiore complesso che verifica un'equazione funzionale rispetto all'azione di particolari sottogruppi del gruppo modulare e che soddisfa alcune condizioni crescita.

La teoria delle forme modulari è parte dell'analisi complessa ma le sue applicazioni principali sono nell'ambito della teoria dei numeri. Le forme modulari compaiono anche in altre aree della matematica e della fisica teorica, come la topologia algebrica e la teoria delle stringhe.

La teoria delle forme modulari è un caso particolare della più generale teoria delle forme automorfe.

Descrizione informale

Le forme modulari sono oggetti matematici con infiniti gradi di simmetria (rotazione, traslazione). La caratteristica principale delle forme modulari (che determina poi gli infiniti gradi di simmetria) è che esse sono espresse attraverso quattro dimensioni, le cui coordinate sono date da numeri complessi. Infatti se ad un oggetto comune (come un quadrato) corrispondono due dimensioni (x & y), ad una forma modulare corrispondono sì due dimensioni, ma a ciascuna di queste corrisponde un piano complesso, ovvero un piano definito da un asse reale e uno immaginario; avremo quindi il piano (Xr; Xi) e (Yr; Yi). Questo rende impossibile disegnare il grafico di una forma modulare.

Forme modulari per SL₂(Z)

Una forma modulare di peso k per il gruppo modulare

${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )=\left\{\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right),a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,ad-bc=1\right\}}$ 

è una funzione f definita sul semipiano superiore complesso ${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} ,{\text{Im}}(z)>0\}}$  a valori nell'insieme dei numeri complessi che soddisfa tre condizioni:

(1) è una funzione olomorfa su ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ;

(2) per ogni z in ${\displaystyle \mathbb {H} }$  e per ogni matrice ${\displaystyle \gamma =\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)}$  in ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )}$  vale

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$ 

(3) è olomorfa alla cuspide, cioè f deve essere olomorfa per ${\displaystyle z\to i\infty }$  (cioè per ${\displaystyle {\text{Im}}(z)\to +\infty }$ ). Il termine cuspide è dovuto agli aspetti geometrici della teoria.

Il peso k è solitamente un numero intero e l'insieme delle forme modulari di peso k rispetto a ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )}$  è uno spazio vettoriale su ${\displaystyle \mathbb {C} }$  si indica con ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}({\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } ))}$ .

La seconda condizione, detta anche condizione di modularità debole, può essere riformulata. Siano

${\displaystyle S=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}$ 

${\displaystyle T=\left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)}$ 

Poiché le matrici T e S generano il gruppo modulare ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbf {\mathbb {Z} } )}$ , allora la seconda condizione è equivalente alle due equazioni seguenti:

${\displaystyle f(-1/z)=z^{k}f(z)\,}$ 

${\displaystyle f(z+1)=f(z)\,}$ 

Dall'ultima delle due precedenti equazioni segue che le forme modulari sono funzioni periodiche di periodo 1 e ammettono quindi sviluppo in serie di Fourier. Da questo segue che per k dispari solo la funzione costantemente nulla soddisfa la seconda condizione.

La L-serie e il legame con le curve ellittiche

Ad ogni forma modulare è possibile associare una L-serie. Grazie al teorema di Taniyama-Shimura dimostrato da Andrew Wiles, sappiamo che ad ogni L-serie di una curva ellittica corrisponde una L-serie di una forma modulare.

Le dimostrazioni conseguenti

Sulla corrispondenza tra curve ellittiche e forme modulari si basa (tra le altre) anche la dimostrazione dell'Ultimo teorema di Fermat, completata da Wiles nel 1995.

Bibliografia

• (EN) F. Diamond e J. Shurman (2005), A First Course in Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics 228 Springer, New York, ISBN 0-387-23229-X.
• (EN) T. Miyake (1989), Modular Forms, Springer-Verlag, Berlino Heidelberg.
• (EN) Goro Shimura (1971), Introduction To The Arithmetic Theory Of Automorphic Functions, Iwanami Shoten and Princeton University Press.
• (EN) R. Gunning (1962), Lectures on Modular Forms, Princeton University Press: Princeton, New Jersey.
• (EN) T. M. Apostol (1976), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer-Verlag, New York.
• Singh, S. (1999), L'ultimo teorema di Fermat, Biblioteca Universale Rizzoli, ISBN 88-17-11291-7.

Voci correlate

• Forma cuspidale
• Forma automorfa
• Ultimo teorema di Fermat
• Semipiano superiore complesso
• Gruppo modulare
• Sviluppo in serie di Fourier

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