Processo di Poisson
Un processo di Poisson, dal nome del matematico francese Siméon-Denis Poisson (1781 - 1840), è un processo stocastico definito riguardo il manifestarsi di eventi. Questo processo di conta, dato come una funzione del tempo N(t), rappresenta il numero di eventi a partire dal tempo t = 0. Inoltre il numero di eventi tra il tempo a e il tempo b è dato come N(b) − N(a) ed ha una distribuzione di Poisson.
Il processo di Poisson è un processo tempo continuo: la sua controparte tempo discreta è il processo di Bernoulli. Il processo di Poisson è un uno dei più famosi processi di Lévy. I processi di Poisson sono anche esempi di processo markoviano tempo continuo.
Tipi di processi di Poisson
Processo di Poisson omogeneo
Un processo di Poisson omogeneo è caratterizzato da un parametro di frequenza λ tale che il numero di eventi in un itervallo di tempo seguono una distribuzione di Poisson con il parametro associato . Questa relazione è data come
![{\displaystyle (t,t+\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a157feb8993dca21af1c29b49023a453697cf5)
![{\displaystyle P[(N(t+\tau )-N(t))=k]={\frac {e^{-\lambda \tau }(\lambda \tau )^{k}}{k!}}\qquad k=0,1,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cfe8d78d6acf4f6f619d073bab451436c6c7f9)
dove N(t + τ) − N(t) descrive il numero di eventi in un intervallo di tempo (t, t + τ].
Così come una variabile casuale di Poisson è caratterizzata dal suo parametro scalare λ, un processo di Poisson omogeneo è caratterizzato dal suo parametro di frequenza λ, che corrisponde con il valore atteso del numero di "eventi" che si manifestano per unità di tempo.
N(t) è un processo di Poisson omogeneo, da non confondere con una densità o una funzione di distribuzione.