Elemento neutro
In matematica, e in particolare algebra astratta, l'elemento neutro è un elemento di un gruppo tale che "non modifica nulla". È sinonimo di elemento neutro il termine unità in una delle sue accezioni.
Una proprietà che può avere una operazione binaria: è l'esistenza dell'elemento neutro.
Definizione
Formalmente, un'operazione binaria su un insieme X è detta possedere l'elemento neutro e se soddisfa la relazione:
- a * e = e * a = a
Quindi, quando possiede l'elemento neutro' e, questo può non essere espresso esplicitamente.
Proprietà
Unicità
Una operazione binaria può non avere nessun elemento neutro. Ad esempio, l'operazione
- a * b := a
non ha nessun elemento neutro (se l'insieme consta di almeno due elementi). D'altra parte, si dimostra facilmente che non ci può essere più di un elemento neutro. Infatti, se ce ne fossero due e ed f, avremmo
- f = e * f = e
e quindi e = f.
Strutture
L'esistenza di un elemento neutro è uno degli assiomi che devono essere soddisfatti affinché l'operazione binaria sia un monoide e in particolare gruppo. Ad esempio, se consideriamo i numeri interi con l'operazione di prodotto, non otteniamo un gruppo (i numeri interi generalmente non hanno inverso), ma solo un monoide e il suo elemento neutro è dato dal numero 1. Tipici elementi neutri di gruppi sono le trasformazioni identità dei gruppi di trasformazioni.
Nelle strutture algebriche con due o più operazioni binarie si possono avere più elementi neutri. In un anello ad es. si ha un elemento neutro per la somma e un elemento neutro per il prodotto; essi in genere sono denotati con 0 e 1 rispettivamente. In un'algebra su campo il prodotto può essere dotato o meno di elemento neutro; in caso di presenza di elemento neutro si parla di algebra unitale (o anche, ma meno opportunamente, di algebra unitaria).
