Tensore energia impulso

Il tensore energia impulso, anche detto tensore energia momento, è un tensore definito nell'ambito della teoria della relatività. Esso descrive il flusso di energia e quantità di moto associate ad un campo.

Le componenti del tensore energia impulso.

Definizione

Il tensore energia impulso è il tensore ${\displaystyle T^{ik}}$  del secondo ordine che fornisce il flusso della componente ${\displaystyle i}$ -esima della quantità di moto attraverso una ipersuperficie ${\displaystyle S_{k}}$  con coordinate ${\displaystyle x_{k}}$  costanti. In relatività generale la quantità di moto è il quadrimpulso ${\displaystyle P^{i}}$ , e dunque:^[1]

${\displaystyle P^{i}=\alpha \int T^{ik}dS_{k}}$ 

dove ${\displaystyle \alpha }$  è un termine costante. Eseguendo l'integrale sull'iperpiano ${\displaystyle x^{0}=cost}$  si ha l'impulso in tre dimensioni:

${\displaystyle P^{i}=\alpha \int T^{ik}dV}$ 

con ${\displaystyle dV}$  l'elemento di spazio tridimensionale e ${\displaystyle dVdt}$  il volume contenuto in ${\displaystyle dS_{k}}$ .

Le componenti spaziali del tensore sono quindi le componenti tridimensionali dell'impulso classico, mentre la componente temporale è l'energia divisa per la velocità della luce: esso rappresenta il vettore energia-momento totale della regione di spazio a cui è esteso l'integrale.

Il tensore è utilizzato per esprimere la conservazione del quadrimpulso, fornita dall'equazione di continuità:

${\displaystyle {\frac {\partial T_{i}^{k}}{\partial x^{k}}}=0}$ 

Infatti, esso corrisponde alla corrente di Noether associata alle traslazioni nello spaziotempo, ed in relatività generale questa quantità agisce come sorgente della curvatura dello spaziotempo. Nello spaziotempo curvo l'integrale spaziale dipende dalla porzione di spazio in generale, e questo è significa che non c'è modo di definire un vettore energia-momento globale in uno spaziotempo curvo generale.

Il tensore è inoltre simmetrico:^[1]

${\displaystyle T^{ik}=T^{ki}}$ 

e la componente temporale è la densità di massa relativistica ${\displaystyle \rho }$ , cioè la densità di energia divisa per la velocità della luce al quadrato:

${\displaystyle T^{00}=\rho }$ 

Il flusso della massa relativistica attraverso la superficie ${\displaystyle x^{i}}$  è equivalente alla densità dell'i-esima componente della quantità di moto:^[1]

${\displaystyle T^{0i}=T^{i0}}$ 

Le componenti spaziali di ${\displaystyle T^{ik}}$  rappresentano dunque il flusso della quantità di moto i-esima attraverso la superficie ${\displaystyle x^{k}}$ . In particolare, ${\displaystyle T^{ii}}$  rappresenta la componente normale della tensione interna, detta pressione quando è indipendente dalla direzione, mentre ${\displaystyle T^{ik}}$  rappresenta lo sforzo di taglio.

Derivazione

  Lo stesso argomento in dettaglio: Principio variazionale di Hamilton e Azione (fisica).

Si consideri un sistema in cui l'azione ha la forma data dall'integrale quadridimensionale:

${\displaystyle S=\int \lambda \left(q,{\frac {\partial q}{\partial x^{i}}},t\right)dVdt=\int \lambda d\Omega }$ 

dove ${\displaystyle \lambda }$  è la densità di lagrangiana relativa all'elemento di volume ${\displaystyle dV}$ , funzione delle coordinate generalizzate, della loro derivata e del tempo. Il principio variazionale di Hamilton stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso, ovvero ${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0}$ , e quindi:^[2]

${\displaystyle \delta S={\frac {1}{c}}\int \left({\frac {\partial \lambda }{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}\delta {\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}\right)d\Omega ={\frac {1}{c}}\int \left[{\frac {\partial \lambda }{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}\delta q\right)-\delta q{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}\right]d\Omega =0}$ 

Se si applica il teorema di Gauss e si considera l'integrale su tutto lo spazio, il secondo termine si annulla. L'equazione del moto assume allora la forma dell'equazioni di Eulero-Lagrange:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial q}}=0}$ 

dove l'indice ripetuto implica la sommatoria, secondo la notazione di Einstein. Sostituendo tale espressione all'interno di:

${\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial x^{i}}}={\frac {\partial \lambda }{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}}\right)}$ 

si ottiene:

${\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial x^{i}}}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}\right){\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}\right)}$ 

Dato che ${\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial x^{i}}}=\delta _{i}^{k}{\frac {\partial \lambda }{\partial x^{k}}}}$ , si definisce il tensore energia impulso come:

${\displaystyle T_{i}^{k}={\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}-\delta _{i}^{k}\lambda }$ 

in modo che l'espressione assume la forma:

${\displaystyle {\frac {\partial T_{i}^{k}}{\partial x^{k}}}=0}$ 

Il teorema della divergenza consente di trasformare l'integrale volumetrico di tale derivata in un flusso attraverso la ipersuperficie che delimita il volume:^[3]

${\displaystyle \int {\frac {\partial T_{i}^{k}}{\partial x^{k}}}d\Omega =\alpha \int T^{ik}dS_{k}=P^{i}}$ 

dove ${\displaystyle P^{i}}$  è il quadrimpulso del sistema e ${\displaystyle \alpha }$  un termine costante che si pone solitamente pari a ${\displaystyle 1/c}$ : la relazione stabilisce che ${\displaystyle P^{i}}$  si conserva.

Conservazione dell'energia

Scrivendo in modo esplicito le derivate dell'equazione di continuità ${\displaystyle \partial T_{i}^{k}/\partial x^{k}=0}$  si hanno le espressioni:^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial T^{00}}{\partial t}}+{\frac {\partial T^{0\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}=0\qquad {\frac {1}{c}}{\frac {\partial T^{\alpha 0}}{\partial t}}+{\frac {\partial T^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}=0}$ 

Integrando l'equazione a sinistra sul volume ${\displaystyle V}$  ed utilizzando il teorema della divergenza si ottiene:^[4]

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int T^{00}dV=-c\int {\frac {\partial T^{0\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}dV=-c\int T^{0\alpha }df_{\alpha }}$ 

Il primo termine è la variazione dell'energia contenuta nel volume ${\displaystyle V}$ , il terzo rappresenta quindi la quantità di energia che fuoriesce dalla supericie che delimita il volume, quantificata come l'integrale su tutta la superficie del flusso infinitesimo attraverso l'elemento di superficie ${\displaystyle d\mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})}$ . In elettrodinamica, la densità del flusso dell'energia associata al campo elettromagnetico è data dal vettore di Poynting.

Applicando il medesimo procedimento alle componenti spaziali del tensore si ottiene l'anaolga equazione di continuità per l'impulso: per tale motivo le componenti spaziali del tensore energia-impulso costituiscono il tensore degli sforzi.

Il tensore energia impulso del campo elettromagnetico

  Lo stesso argomento in dettaglio: Tensore degli sforzi elettromagnetico.

Il tensore energia impulso associato al campo elettromagnetico, detto tensore degli sforzi elettromagnetico, è definito nel sistema internazionale di unità di misura e nello spaziotempo piatto come:^[5]

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]}$ 

dove ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$  è il tensore elettromagnetico. La forma matriciale esplicita è:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}}}$ 

dove ${\displaystyle {\vec {S}}}$  è il vettore di Poynting, ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$  il tensore metrico dello spaziotempo di Minkowski:

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\!={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$ 

e ${\displaystyle \sigma _{ij}}$  il tensore degli sforzi di Maxwell:^[6]

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left({\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}\right)\delta _{ij}}$ 

Si noti che ${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$  dove c è la velocità della luce.

Note

1. Landau, Lifshits, Pag. 111 Errore nelle note: Tag <ref> non valido; il nome "def" è stato definito più volte con contenuti diversi
2. ^ Landau, Lifshits, Pag. 109
3. ^ Landau, Lifshits, Pag. 110
4. ^ Landau, Lifshits, Pag. 113
5. ^ Landau, Lifshits, Pag. 114
6. ^ Landau, Lifshits, Pag. 115

Bibliografia

• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 047130932X.
• Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8.
• Leonardo Ricci, "History of science: Dante's insight into galilean invariance", Nature 434, p. 717 7 aprile 2005.
• Tommaso Alberto Figliuzzi, Relatività e Causalità tra fisica e filosofia, Aracne Editrice, 2007.
• Bertrand Russell, L'ABC della relatività, 1925.

Voci correlate

• Azione (fisica)
• Campo elettromagnetico
• Equazione di continuità
• Principio variazionale di Hamilton
• Quadrimpulso
• Tensore degli sforzi elettromagnetico
• teorema di Noether
• Vettore di Poynting

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Collegamenti esterni

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• (EN) Testo della teoria della relatività di Einstein
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• Un'introduzione alla Teoria della Relatività di A. Amadori - L. Lussardi
• Teoria della Relativita' Speciale: formulazione matematica, V. Moretti, università di Trento

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