Esperimento di Haynes-Shockley

Esperimento di Haynes–Shockley

Nella fisica dei semiconduttori, l'esperimento di Haynes–Shockley evidenzia le proprietà di trasporto della carica elettrica (buchi ed elettroni) con il metodo del tempo di volo. L'eperimento venne descritto in un breve articolo da Haynes and Shockley nel 1948,[1] e poi in un lavoro piu' dettagliato firmato da Shockley, Pearson, e Haynes nel 1949.[2][3] Nell'esperimento possono essere misursate mobilità, vita media e coefficiente di diffusione dei portatori di carica minoritari.

• schema dell'apparato per l'esperimento di Haynes-Shockley
  schema dell'apparato per l'esperimento di Haynes-Shockley

Nell'esperimento originale si utilizzava una batteria per creare un campo elettrico lungo una sbarretta di semiconduttore monocristallino drogato, e in un punto del campione, si iniettava un breve impulso di portatori minoritari di carica in eccesso rispetto alla distribuzione di equilibrio, i quali venivano trasportati dal campo elettrico lungo il campione.

Equazioni

Per descrivere l'effetto consideriamo una barretta di materiale semiconduttore di tipo n lunga d. Vogliamo calcolare la mobilita' dei portatori di carica, il coefficiente di diffusione e la vita media dei portatori. Nel seguito semplifichiamo il problema riducendoci al solo caso di trasporto unidirezionale.

Le le densita' di corrente js per elettroni (e) e buchi (p) sono:

${\displaystyle j_{e}=+\mu _{n}nE+D_{n}{\frac {\partial n}{\partial x}}}$ 

${\displaystyle j_{p}=+\mu _{p}pE-D_{p}{\frac {\partial p}{\partial x}}}$ 

dove μs sono le mobilita' dei portatori di carica, E il campo elettrico, n e p le densita' dei portatori, Ds i coefficienti di diffusione, e x la posizione. Il primo termine a destra nelle equazioni è dovuto alla deriva nel campo elettrico e il secondo termine alla diffusione.

Calcolo

Consideriamo l'equazione di continuita':

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}={\frac {-(n-n_{0})}{\tau _{n}}}-{\frac {\partial j_{e}}{\partial x}}}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}={\frac {-(p-p_{0})}{\tau _{p}}}-{\frac {\partial j_{p}}{\partial x}}}$ 

Gli indici 0 indicano le concentrazioni all'equilibrio. Elettroni e buchi si ricombinano con vita media τ.

Definiamo

${\displaystyle p_{1}=p-p_{0}\,,\quad n_{1}=n-n_{0}}$ 

e riscriviamo le precedenti equazioni come:

${\displaystyle {\frac {\partial p_{1}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}p_{1}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p_{1}}{\partial x}}-{\frac {p_{1}}{\tau _{p}}}{\frac {\partial n_{1}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{1}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{1}}{\partial x}}-{\frac {n_{1}}{\tau _{n}}}}$ 

Il gradiente di campo elettrico ∂E/∂x puo' essere calcolato con la legge di Gauss :

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial x}}={\frac {\rho }{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}((p-p_{0})-(n-n_{0}))}{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}(p_{1}-n_{1})}{\epsilon \epsilon _{0}}}}$ 

dove ε e' la costante dielettrica (ε0 nel vuoto), ρ la densita' di carica, e e0 la carica elementare.

Cambiamo le variabili con le sostituzioni:

${\displaystyle p_{1}=n_{\text{m}}+\delta \,,\quad n_{1}=n_{\text{m}}-\delta \ }$  ,

e supponiamo che la densita' di portatori iniettati δ sia molto piu' piccola di ${\displaystyle n_{\text{m}}}$ . Le equazioni iniziali diventano:

${\displaystyle {\frac {\partial n_{\text{m}}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{m}}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial n_{\text{m}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{m}}}{\tau _{p}}}}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial n_{\text{m}}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{m}}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{\text{m}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{m}}}{\tau _{n}}}}$ 

Usando la relazione di Einstein ${\displaystyle \mu =e\beta D}$  , dove β e' il reciproco del prodotto kT (costante di Boltzmann e temperatura assoluta), le equazioni diventano:

${\displaystyle {\frac {\partial n_{\text{m}}}{\partial t}}=D^{*}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{m}}}{\partial x^{2}}}-\mu ^{*}E{\frac {\partial n_{\text{m}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{m}}}{\tau ^{*}}}}$  ,

dove valgono per D*, μ* e τ* :

${\displaystyle D^{*}={\frac {D_{n}D_{p}(n+p)}{pD_{p}+nD_{n}}},\mu ^{*}={\frac {\mu _{n}\mu _{p}(n-p)}{p\mu _{p}+n\mu _{n}}}and{\frac {1}{\tau ^{*}}}={\frac {p\mu _{p}\tau _{p}+n\mu _{n}\tau _{n}}{\tau _{p}\tau _{n}(p\mu _{p}+n\mu _{n})}}}$  .

Assumendo sia n >> p ovvero p → 0 (caso di semiconduttore tipo-n con pochi buchi iniettati), si ha D* → Dp, μ* → μp e 1/τ* → 1/τp. Il semiconduttore si comporta come se in esso si muovessero solo i buchi (portatori minoritari) .

L'equazione finale e' :

${\displaystyle n_{\text{m}}(x,t)=A{\frac {1}{\sqrt {4\pi D^{*}t}}}e^{-t/\tau ^{*}}e^{-{\frac {(x+\mu ^{*}Et-x_{0})^{2}}{4D^{*}t}}}}$ 

interpretabile come un impulso istantaneo di buchi iniettati al tempo t=0 (delta di Dirac) che si sposta verso l'elettrodo collettore trasformandosi in una gaussiana che si allarga e diminuisce di area.

Dalla forma del segnale raccolto al collettore si possono calcolare i parametri μ, D e τ .

${\displaystyle \mu ^{*}={\frac {d}{Et_{0}}}}$ 

${\displaystyle D^{*}=(\mu ^{*}E)^{2}{\frac {(\delta t)^{2}}{16t_{0}}}}$ 

dove d e' la distanza percorsa nel tempo t0, e δt la larghezza dell'impulso osservato.

Per approfondire

   Banda di conduzione
   Equazione di trasporto
   Semiconduttori

Riferimenti

   [1] Haynes, J.; Shockley, W. (1949). "Investigation of Hole Injection in Transistor Action". Physical Review 75 (4): 691. Bibcode:1949PhRv...75..691H. doi:10.1103/PhysRev.75.691. edit
   [2] Shockley, W. and Pearson, G. L., and Haynes, J. R. (1949). "Hole injection in germanium – Quantitative studies and filamentary transistors". Bell System Technical Journal 28: 344–366.
   [3]Jerrold H. Krenz (2000). Electronic concepts: an introduction. Cambridge University Press. p. 137. ISBN 978-0-521-66282-6.

Collegamenti esterni

• Applet simulating the Haynes–Shockley experiment
• Video explaining the original experiment
• Educational approach to the HS experiment