Derivata materiale

In meccanica del continuo, la derivata materiale, anche detta derivata convettiva, derivata sostanziale o derivata lagrangiana, descrive il tasso di variazione di una qualche quantità fisica associata ad un elemento di materia soggetto ad un campo vettoriale dipendente da spazio e tempo. Si tratta di una forma di derivazione simile alla derivata totale, e talvolta ne prende il nome. Ad esempio, il campo vettoriale può essere la velocità delle particelle di un fluido (velocità di flusso), e la quantità fisica considerata la sua temperatura.

La derivata materiale può essere vista come un collegamento tra la descrizioni euleriana e lagrangiana di una deformazione continua, e viene utilizzata spesso in fluidodinamica.

Definizione

La derivata materiale o derivata lagrangiana di un campo scalare ${\displaystyle \varphi ({\vec {x}},t)}$  è definita come:

${\displaystyle {\frac {D\varphi }{Dt}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\vec {u}}\cdot \nabla \varphi }$ 

dove ${\displaystyle \nabla \varphi }$  è il gradiente di ${\displaystyle \varphi }$ , la derivata parziale ${\displaystyle \partial \varphi /\partial t}$  è detta derivata euleriana (derivata del campo rispetto al tempo in una posizione fissata). Questo tipo di derivazione descrive il trasporto semplice di una quantità scalare o vettoriale con una velocità di deriva ${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {x}},t)}$ .

La derivata materiale di un campo vettoriale ${\displaystyle {\vec {\psi }}({\vec {x}},t)}$  è data da:

${\displaystyle {\frac {D{\vec {\psi }}}{Dt}}={\frac {\partial {\vec {\psi }}}{\partial t}}+{\vec {u}}\cdot \nabla {\vec {\psi }}}$ 

dove ${\displaystyle \nabla {\vec {\psi }}}$  è la derivata covariante di ${\displaystyle {\vec {\psi }}}$ .

Il termine "derivata convettiva" è utilizzato sia per indicare la derivata materiale ${\displaystyle D\varphi /Dt}$  o ${\displaystyle D{\vec {\psi }}/Dt}$ , sia per indicare la derivazione ${\displaystyle {\vec {u}}\cdot \nabla \varphi }$  o ${\displaystyle {\vec {u}}\cdot \nabla {\vec {\psi }}}$  delle sole componenti spaziali.

L'effetto dei termini indipendenti dal tempo è detto talvolta avvezione per il caso scalare e convezione per il caso vettoriale. Come esempio per il caso scalare si può considerare una data una quantità scalare ${\displaystyle \varphi ({\vec {x}},t)}$  in un campo vettoriale ${\displaystyle {\vec {v}}}$  (come la velocità di un fluido con temperatura ${\displaystyle \varphi ({\vec {x}},t)}$  in ogni punto ${\displaystyle {\vec {x}}}$  al tempo ${\displaystyle t}$ ). La sua derivata totale rispetto a ${\displaystyle t}$ , è espressa attraverso la regola della catena nella velocità:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\varphi ({\vec {x}},t))={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {d{\vec {x}}}{dt}}\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\vec {v}}\nabla \varphi }$ 

Il vettore:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}=\left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)^{T}}$ 

descrive la velocità di un oggetto lungo un determinato cammino ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$  nello spazio. Se:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {v}}}$ 

la derivata totale coincide con la definizione di derivata materiale data sopra. Se inoltre ${\displaystyle d{\vec {x}}/dt=0}$  (cioè la posizione è costante) la derivata totale rispetto a ${\displaystyle t}$  diventa la derivata parziale rispetto a ${\displaystyle t}$  (la derivata ottenuta considerando le altre variabili costanti) nella posizione (stazionaria) ${\displaystyle {\vec {x}}}$ .

Coordinate ortogonali

In un sistema di coordinate ortogonali, la componente j-esima della convezione è data da:^[1]

${\displaystyle [\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {u} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {v_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial u_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {u_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(v_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-v_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right)}$ 

in cui:

${\displaystyle h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}}$ 

con ${\displaystyle g_{ii}}$  il tensore metrico.

Note

1. ^ Eric W. Weisstein, Convective Operator, su mathworld.wolfram.com, MathWorld. URL consultato il 22 luglio 2008.

Bibliografia

• (EN) G.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967, pp. 72–73, ISBN 0-521-66396-2.
• (EN) K. E. Trenberth, Climate System Modeling, Cambridge University Press, 1993, p. 99, ISBN 0-521-43231-6.
• (EN) G. Emanuel, Analytical fluid dynamics, second, CRC Press, 2001, pp. 6–7, ISBN 0-8493-9114-8.
• (EN) G.J. Sussman, J. Wisdom e M.E. Mayer, 1.6 How to Find Lagrangians, in Structure and Interpretation of Classical Mechanics, MIT Press.
• (EN) Ira M. Cohen e Pijush K Kundu, Fluid Mechanics, 4ª ed., Academic Press, ISBN 978-0-12-373735-9.
• (EN) Michael Lai, Erhard Krempl e David Ruben, Introduction to Continuum Mechanics, 4ª ed., Elsevier, ISBN 978-0-7506-8560-3.

Voci correlate

• Coordinate euleriane e lagrangiane
• Derivata
• Derivata covariante
• Derivata totale
• Gradiente

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Convective Derivative, in MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) http://www.sv.vt.edu/classes/ESM4714/methods/df2D.html

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