Distribuzione di Poisson

La variabile casuale poissoniana è una variabile casuale discreta, detta pure degli eventi rari.

Metodologia

Definizione

 

Funzione di probabilità di una variabile poissoniana

La v.c. Poissoniana è definita con la funzione di probabilità

${\displaystyle P(x)={\frac {e^{-\lambda }\ \lambda ^{x}}{x!}}}$  , dove

• λ è un qualsiasi valore positivo (λ>0) equivalente al numero di successi che ci si aspetta che si verifichino in un dato intervallo di tempo. Per esempio, se un evento si verifica con una cadenza media di 4 minuti e vogliamo sapere quante volte questo evento si potrà verificare in 10 minuti, il valore di λ sarà 10/4 = 2,5
• e è la base del logaritmo naturale (e = 2.71828...)
• x è il numero delle occorrenze (successi) per cui si vuole prevedere la probabilità (deve essere intero non negativo (x=0,1,2,3,....))

La funzione generatrice dei momenti è pertanto:

${\displaystyle g(t)=e^{\lambda (e^{t}-1)}}$ 

Il valore atteso e la varianza coincidono

μ = σ² = λ

La Poissoniana è detta pure legge degli eventi rari, in quanto può essere applicata al posto della variabile casuale binomiale B(p;n) quando la probabilità p di un evento è molto bassa e contemporaneamente la grandezza del campione n è molto alta, ovvero quando un evento è raro, ma il numero di eventi che si verificano (λ = np) è comunque finito.

Teoremi

Approssimazione ad una Normale per λ molto grande

Quando λ è molto grande (orientativamente λ > 10), allora la Poissoniana può essere approssimata con una variabile casuale normale con valore atteso e varianza pari a λ: N( λ ; λ).

La poissoniana e la v.c. esponenziale negativa

La v.c. poissoniana viene usata in relazione alla v.c. Esponenziale Negativa in quanto:

se

l'intervallo di tempo che passa tra due successi è distribuito come una esponenziale negativa con a=λ

allora

il numero di successi entro un predeterminato intervallo di tempo è distribuito come una poissoniana (con parametro λ);

e viceversa.

Somma di due v.c. poissoniane

Se

X e Y sono due variabili casuali indipendenti, distribuite come una poissoniana con parametro rispettivamente λ_x e λ_y

allora

Z=X+Y è a sua volta una v.c. Poissoniana con parametro λ_z = λ_x+λ_y

Differenza di due v.c. poissoniane

Se

X e Y sono due variabili casuali non necessariamente indipendenti, distribuite come una poissoniana con parametro rispettivamente λ_x e λ_y

allora

Z=X-Y è a una v.c. di Skellam con parametri λ_x e λ_y

La Poissoniana e i processi markoviani

Se

in un processo markoviano (continuo nel tempo) nascite-morti, con le condizioni iniziali P_n(0)=1 per n=0, e =0 altrimenti, si osserva un processo di pure nascite con tasso costante λ

allora

si ottiene la soluzione P_n(t)=e^-λt (λt)^k/k!, ovvero una Poissoniana con parametro λt

Somma di due v.c. intere non negative

Se ${\displaystyle X_{1}}$  e ${\displaystyle X_{2}}$  sono v.c. intere nonnegative e

${\displaystyle P(X_{1}=x_{1}|X_{1}+X_{2}=x)={x \choose x_{1}}\ p_{x}^{x_{1}}\ (1-p_{x})^{x-x_{1}}}$ 

allora

1. ${\displaystyle p_{x}\equiv p}$  per ogni x
2. sia ${\displaystyle X_{1}}$  che ${\displaystyle X_{2}}$  sono distribuite come una v.c. di Poisson con parametro ${\displaystyle \lambda ={\frac {p}{1-p}}}$ 

Somma di due v.c. indipendenti

Se ${\displaystyle X_{1}}$  e ${\displaystyle X_{2}}$  sono v.c. indipendenti e ${\displaystyle X=X_{1}+X_{2}}$  è distribuita come una Poissoniana, allora anche ${\displaystyle X_{1}}$  e ${\displaystyle X_{2}}$  sono distribuite come delle Poissoniane.

Distribuzione dell'indice di dispersione di Poisson

Se la v.c. X è distribuita come una Poissoniana, allora l'indice di dispersione di Poisson

${\displaystyle D={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{\bar {x}}}}$  dove ${\displaystyle {\bar {x}}}$  è la media aritmetica ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ x_{i}}$ 

è distribuito approssimativamente come una variabile casuale Chi Quadrato con n-1 gradi di libertà

La v.c. poissoniana come caso particolare della v.c. di Panjer

Applicando alla variabile casuale di Panjer i paramentri ${\displaystyle a=0,~b=\lambda ,~p_{0}=e^{-\lambda }}$  si ottiene la poissoniana.

v.c.Gamma e la v.c. poissoniana nella'ambito dell'inferenza bayesiana

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si trova la seguente relazione:

Se X è distribuita come una v.c. Poissoniana con parametro λ

${\displaystyle f(x|\lambda )=Poiss(x|\lambda )}$ 

e il parametro λ è distribuito a priori come una v.c. Gamma con i parametri a e b

${\displaystyle g(\lambda )=Gamma(\lambda |a;b)}$ 

allora il parametro λ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Gamma, ma con parametri a+x e b+1

${\displaystyle g(\lambda |x)=Gamma(\theta |a+x;b+1)}$ 

Storia

La Poissoniana porta il nome di Siméon-Denis Poisson in quanto questo la utilizzò nel 1837 (tre anni prima di morire) in una ricerca sulle statistiche giudiziarie, derivandola come distribuzione limite della distribuzione di Pascal ( P(x)=p(1-p)^x ) e della distribuzione binomiale. Secondo alcuni storici questa variabile casuale dovrebbe portare il nome di Ladislaus Bortkiewicz considerati gli studi fatti da questo nel 1898.

In realtà la poissoniana come approssimazione della binomiale era già stata introdotta nel 1718 da Abraham de Moivre in Doctrine des chances.

Voci correlate

• Siméon-Denis Poisson, Abraham de Moivre e Ladislaus Bortkiewicz
• variabile casuale normale
• variabile casuale binomiale
• variabile casuale esponenziale negativa
• variabile casuale geometrica (o di Pascal)
• variabile casuale binomiale negativa (anch'essa, come la poissoniana, usata nel caso di eventi rari)
• distribuzione composta di Poisson
• variabile casuale discreta
• variabile casuale
• probabilità
• statistica

Tavole dei valori della funzione di probabilità

λ = 0.1, 0.2, ... 1.0

+=======+===============================================================+
|  k \ λ|    0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9   1.0  |
+=======+===============================================================+
|  0    |  .9048 .8187 .7408 .6703 .6065 .5488 .4966 .4493 .4066 .3679  |
|  1    |  .0905 .1637 .2222 .2681 .3033 .3293 .3476 .3595 .3659 .3679  |
|  2    |  .0045 .0164 .0333 .0536 .0758 .0988 .1217 .1438 .1647 .1839  |
|  3    |  .0002 .0011 .0033 .0072 .0126 .0198 .0284 .0383 .0494 .0613  |
|  4    |        .0001 .0003 .0007 .0016 .0030 .0050 .0077 .0111 .0153  |
|  5    |                    .0001 .0002 .0004 .0007 .0012 .0020 .0031  |
|  6    |                                      .0001 .0002 .0003 .0005  |
|  7    |                                                        .0001  |
+=======+===============================================================+

λ = 1.2, 1.4, ... 3.0

+=======+===============================================================+
|  k \ λ|    1.2   1.4   1.6   1.8   2.0   2.2   2.4   2.6   2.8   3.0  |
+=======+===============================================================+
|  0    |  .3012 .2466 .2019 .1653 .1353 .1108 .0907 .0743 .0608 .0498  |
|  1    |  .3614 .3452 .3230 .2975 .2707 .2438 .2177 .1931 .1703 .1494  |
|  2    |  .2169 .2417 .2584 .2678 .2707 .2681 .2613 .2510 .2384 .2240  |
|  3    |  .0867 .1128 .1378 .1607 .1804 .1966 .2090 .2176 .2225 .2240  |
|  4    |  .0260 .0395 .0551 .0723 .0902 .1082 .1254 .1414 .1557 .1680  |
|  5    |  .0062 .0111 .0176 .0260 .0361 .0476 .0602 .0735 .0872 .1008  |
|  6    |  .0012 .0026 .0047 .0078 .0120 .0174 .0241 .0319 .0407 .0504  |
|  7    |  .0002 .0005 .0011 .0020 .0034 .0055 .0083 .0118 .0163 .0216  |
|  8    |        .0001 .0002 .0005 .0009 .0015 .0025 .0038 .0057 .0081  |
|  9    |                    .0001 .0002 .0004 .0007 .0011 .0018 .0027  |
| 10    |                                .0001 .0002 .0003 .0005 .0008  |
| 11    |                                            .0001 .0001 .0002  |
| 12    |                                                        .0002  |
+=======+===============================================================+

λ = 3.5, 4.0, ... 8.0

+=======+===============================================================+
|  k \ λ|    3.5   4.0   4.5   5.0   5.5   6.0   6.5   7.0   7.5   8.0  |
+=======+===============================================================+
|  0    |  .0302 .0183 .0111 .0067 .0041 .0025 .0015 .0009 .0006 .0003  |
|  1    |  .1057 .0733 .0500 .0337 .0225 .0149 .0098 .0064 .0041 .0027  |
|  2    |  .1850 .1465 .1125 .0842 .0618 .0446 .0318 .0223 .0156 .0107  |
|  3    |  .2158 .1954 .1687 .1404 .1133 .0892 .0688 .0521 .0389 .0286  |
|  4    |  .1888 .1954 .1898 .1755 .1558 .1339 .1118 .0912 .0729 .0573  |
|  5    |  .1322 .1563 .1708 .1755 .1714 .1606 .1454 .1277 .1094 .0916  |
|  6    |  .0771 .1042 .1281 .1462 .1571 .1606 .1575 .1490 .1367 .1221  |
|  7    |  .0385 .0595 .0824 .1044 .1234 .1377 .1462 .1490 .1465 .1396  |
|  8    |  .0169 .0298 .0463 .0653 .0849 .1033 .1188 .1304 .1373 .1396  |
|  9    |  .0066 .0132 .0232 .0363 .0519 .0688 .0858 .1014 .1144 .1241  |
| 10    |  .0023 .0053 .0104 .0181 .0285 .0413 .0558 .0710 .0858 .0993  |
| 11    |  .0007 .0019 .0043 .0082 .0143 .0225 .0330 .0452 .0585 .0722  |
| 12    |  .0002 .0006 .0016 .0034 .0065 .0113 .0179 .0263 .0366 .0481  |
| 13    |  .0001 .0002 .0006 .0013 .0028 .0052 .0089 .0142 .0211 .0296  |
| 14    |        .0001 .0002 .0005 .0011 .0022 .0041 .0071 .0113 .0169  |
| 15    |              .0001 .0002 .0004 .0009 .0018 .0033 .0057 .0090  |
| 16    |                          .0001 .0003 .0007 .0014 .0026 .0045  |
| 17    |                                .0001 .0003 .0006 .0012 .0021  |
| 18    |                                      .0001 .0002 .0005 .0009  |
| 19    |                                            .0001 .0002 .0004  |
| 20    |                                                  .0001 .0002  |
| 21    |                                                        .0001  |
+=======+===============================================================+